有限元方法作为20世纪50年代发展并逐渐成熟起来的一种功能强大的分析模拟技术，已被广泛应用于工程领域解决材料或结构中的各种复杂线性或非线性问题。然而，有限元法却存在许多固有的缺点，极大地限制了它的应用。比如许多有限元的商业软件无法准确地预测应力。有限元方法计算的应力在单元网格的界面处往往是不连续的，其根源在于有限元计算方法假定的位移场从本质上就是分段连续的。为了获得精确的计算应力值，往往需要采用特殊技术，如采用超收敛点或补丁进行后处理。在模拟特大变形过程中，有限元网格的严重扭曲或受压变形不仅需要网格重构而且还使得计算精度受到极大影响。有限元方法对于动态裂纹扩展以及相变的模拟也存在很大困难，裂纹的扩展和相变方向不能事先确定，使得求解问题的不连续性与原始单元网格的界面不匹配，因此在计算过程中需要不断地重新划分网格。此外，由于有限元法是基于连续介质力学理论的，单元网格之间要么保持一个整体不分开，要么完全消失，因此在模拟大量不连续碎片组成的材料问题时，总是会出现严重的错误。

为了解决以上这些问题，许多学者相继进行了自适应分析研究，即在计算模拟问题的每一步对求解区域重新划分单元网格。这在一定程度上可以阻止网格的严重扭曲，使在问题演化的过程中网格线与出现的任意不连续性随时保持一致。目前国内外已有少数虽复杂但通用性较好的网格生成程序，然而由于自适应分析要求在每一个连续的分析阶段将场变量在网格之间进行一次投影，这一投影过程无疑增加了额外的计算强度并且导致了一些逻辑问题甚至计算精度的下降。尽管近年来商用的有限元前后处理软件得到了长足发展，但对于大型复杂的三维问题，有限元网格自动生成仍然是极具挑战性的任务，而且网格的连续重构细化还会极大地增加计算成本。此外，其他一些基于网格的数值方法，如有限差分法、边界元法等也或多或少地存在上述问题。

从以上分析不难看出，造成上述这些问题的根源是单元网格的使用。为了避免必须利用单元网格来离散化求解域的弊端，许多科学工作者致力于研究新的数值方法，于是在20世纪70年代无网格的方法应运而生。与传统的有限元方法截然不同的是，无网格方法仅需要一系列离散分布的场节点来离散问题域和边界，这些节点可以是随机地也可以是有规律地分布的，而且点与点之间不需要具备任何预知关系。除此以外，无网格方法和有限元方法中形函数的建立也是截然不同的。有限元方法采用预设的元素来构造形函数，且每个元素的形函数都是相同的。无网格方法的形函数则是对当前研究的某一节点基于特定的局部区域通过插值建立的，插值选取的局部区域不同，节点与节点的形函数也因此会不同。表1-1从不同方面对比了有限元方法和无网格方法。

从以上对比可以看出，无网格方法不仅可以获得高于有限元的计算精度，而且其自适应分析过程也明显胜过有限元方法，比如无网格方法在未知场变量高度非线性的地方，只需灵活地增加场节点数量从而减小计算难度。这些优势使得无网格方法成为求解复杂的三维问题、线性和非线性应力分析、含有动态边界或不连续性问题（比如相变或裂纹扩展）的理想选择。

表1-1　有限元方法与无网格方法对比

无网格方法的种类很多，关于各种无网格方法的产生及发展，国外的Belytschko et al（1996）及国内学者（张熊等，2009；曹小青等，2009）均进行过系统总结，在此不再赘述。在诸多的无网格方法中，极具代表性的一种是无网格伽辽金法（Element-free Galerkin，简称EFG）。无网格伽辽金法的前身是由Nayroles et al（1992）提出的扩散元法（Diffuse Element Method），Belytschko et al（1994）对扩散元法进行改进提出了无网格伽辽金法。作为有限元方法及边界元法的理想替代，无网格伽辽金法除了具有其他无网格方法的共同优点外，还具有以下特性：

（1）离散后的系统刚度矩阵是稀疏、带状、对称的，且具有小的条件数。

（2）因变量及其梯度在整个问题域都是连续的，无需任何后处理过程即可获得平滑的梯度场。(www.daowen.com)

（3）对于各向异性材料具有良好的适用性。

（4）在计算静力学椭圆性问题时能够获得高度精确的求解。

（5）在断裂力学问题中，无需网格重构便能够准确地计算应力强度因子并捕捉应力奇异性，且自适应分析过程简单。

（6）由于无需格林方程，因此在应用于求解非线性及其他含复杂本构关系问题方面具有简单的优势。

（7）适用于求解大变形问题，并易于扩展用于圆柱壳体问题。

鉴于无网格伽辽金法的诸多优势，近年来已被国内外的研究者们广泛应用于求解固体力学领域中。Belytschko et al（1995，1996）成功利用无网格伽辽金法模拟二维空间静态裂纹产生及动态裂纹的扩展问题。Krysl & Belytschko（1997，1999）分析研究了三维空间动态裂纹扩展问题，通过使用无网格伽辽金法避免了裂纹生长过程中的网格重构。Sukumar et al（1997）通过在裂纹生长区域使用无网格伽辽金法和在其他区域使用有限元方法，研究了三维空间的平面断裂问题。王雪（2008）利用无网格伽辽金法研究了二维线弹性断裂力学问题，成功求解单边裂纹有限板和单边斜裂纹有限板的位移场和应力场，其结果与有限元方法的计算结果吻合良好。Cheng & Ge（2009）利用无网格伽辽金法求解二维空间的两种线性双曲方程问题，获得了与精确解完全吻合的结果。Li & Belytschko（2001）则利用无网格伽辽金法计算大变形中的接触-碰撞问题。此外，他们还利用无网格伽辽金法模拟含大扭曲变形的金属挤压、滚动成形过程，结果表明，无网格伽辽金法可以分析计算的大变形问题远远超过拉格朗日有限元方法所能计算的范围。周晖和李勇（2009）利用无网格伽辽金法求解二维土体沉降问题，获得了与有限元法吻合较好的计算结果。此外，还有许多的研究者对无网格伽辽金法进行了其他方面问题的研究，如寇明龙（2007）就无网格伽辽金法中的不连续问题进行了较系统的研究。

然而到目前为止，很少有学者将无网格伽辽金法应用于求解基于高阶理论的应变软化问题。相关的研究包括：Askes et al（2000）将无网格伽辽金法应用于高阶梯度损伤模型，计算了一维空间受单轴拉伸的杆件因几何缺陷而导致的应变局部化问题，研究了模型对无网格伽辽金离散方案的独立性问题。此外，Chang et al（2002）在对比两种高阶理论时也采用了无网格伽辽金法求解。Pamin et al（2003）利用无网格伽辽金法分别研究了应力空间梯度塑性理论及应变空间梯度塑性理论。通过一维受拉杆件及二维空间双轴压缩的薄板算例研究了无网格伽辽金法的离散方案的敏感性问题。Jirásek（1998）对无网格伽辽金法在应变软化问题中的适用性进行了研究，结果证实在描述连续场时，对于正则化的局部化问题无网格伽辽金法具有显著优势。以上这些研究均表明，就梯度增强型连续介质理论而言，无网格伽辽金法具有一项远胜于有限元方法的优势，即无需增加求解问题的尺寸维数，无网格伽辽金法中形函数自身的高阶连续性便足以满足梯度增强理论中的高阶导数项对于连续性的要求。