弹体对混凝土靶的侵彻是一个非常复杂的动力学过程，涉及结构动力学、塑性动力学、实验力学等学科，通过理论分析获得准确的理论模型存在一定困难。结合具体实验研究，对弹丸侵彻混凝土靶的分析主要采用经验模型的方法。目前应用较多的侵彻混凝土目标经验模型主要有美国桑迪亚国家实验室（SNL）的Young模型和美国陆军工程兵团水道试验站（WES）的Bernard模型。

1.Young模型

根据Young模型，弹丸侵彻土、岩石、混凝土的统一经验公式表述为

式中，P为侵彻深度；M为弹丸质量；A为弹丸横截面积；Vc为弹丸着速；S为可侵彻性指标；N为弹丸头部形状系数。

可侵彻性指标S值可通过式（1.114）计算：

式中，对岩石而言，fc为无侧限抗压强度；Q为质量。

卵形头部弹丸和锥形头部弹丸的形状系数N可表述为

式中，ln为弹丸头部长度；D为弹丸直径。

由于土、岩石、混凝土物理和力学特性复杂，通过Young公式计算获得精确计算结果，需明确适用范围：弹丸撞击速度61～1 350 m/s，质量3.17～2 267 kg，弹丸直径2.54～76.2 cm，靶体抗压强度14～63 MPa。

2.Bernard模型

Bernard公式是基于弹丸对混凝土、花岗岩、凝灰岩、砂岩侵彻试验结果，通过回归分析所建立。美国陆军工程兵团水道试验站和美国桑迪亚国家实验室在1977—1979年间先后提出了三种计算弹丸侵彻岩石的侵彻深度公式，分别为BernardⅠ公式、BernardⅡ公式和BernardⅢ公式。

1）BernardⅠ模型

BernardⅠ模型于1977年提出，具体表述为(www.daowen.com)

式中，M为弹体质量；A为弹体横截面积；ρ为岩体密度，参考取值列于表1.4；fc为岩石无侧限抗压强度；RQD为岩体质量系数，表征是现场岩体中原生裂缝间距，取值范围列于表1.5。

表1.4　岩石密度参考取值

表1.5　岩体质量系数

1986年，美国出版《常规武器防护设计原理》，侵深表述为

BernardⅠ公式表明，侵彻深度P与弹丸撞击速度Vc呈线性关系。

2）BernardⅡ模型

1978年，Bernard等学者提出了第二个弹丸侵彻岩石深度计算模型，具体表述为

比较式（1.117）和式（1.118），与BernardⅠ模型不同，BernardⅡ模型表明，侵彻深度P与弹速Vc呈非线性关系。

3）BernardⅢ模型

1979年，Bernard等根据微分面力模型对弹丸侵彻岩石进行受力分析，得到了适用于侵彻岩石及混凝土深度的计算公式，即BernardⅢ公式，表述为

式中，N为弹形系数；CRH为弹头曲率半径与弹丸直径之比；ηc为头部半锥角。该模型既可用于岩体，也可用于混凝土，计算精度优于BernardⅡ模型。但需特别说明的是，该模型只适用于正撞击情况。