在一元恒定气流中取如图11．4所示的控制面，且设流体为理想流体。此时，热力学第一定律表示为：加给控制面中单位质量流体的热量，用来增加其内能、动能和克服外力做功，即

图11．4　推导能量方程图

式中，dq为加给控制面中单位质量流体的热量；de和d是单位质量流体的内能和动能的增加；dl为单位质量流体克服所有外力做的功。规定流体克服外力做的功为正。dl包括克服质量力、总压力做的功dlg、dlp，以及外界加入的机械功dle，即dl＝dlg＋dlp－dle。对气体，可忽略质量力的影响，于是，dlg＝0。下面讨论克服总压力做的功：

设控制面进入断面1上的压强、速度、面积为p、u、A，控制面流出断面2上的压强、速度、面积为（p＋dp）、（u＋du）、（A＋dA），控制面侧表面为流面。克服作用在控制面上总压力做的功为

dLp＝［（p＋dp）（A＋dA）（u＋du）－pAu］dt

展开上式并忽略高阶无穷小量后得

dLp＝［pAdu＋pudA＋uAdp］dt＝［pd（uA）＋uAdp］dt

根据连续性方程有uA＝，这里m为质量流量。于是，上式可写为

对控制面中单位质量流体来说，克服总压力做的功为

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式中 pd——流体单位质量的体积压缩功或体积膨胀功；

——流体单位质量的移动功。

于是式（11．11）可写为

引用热力学中焓的概念，即对于完全气体有di＝de＋d，于是，上式可写为

再如流动为绝热且无外加机械功，则得一元恒定等熵气流的能量方程的微分形式为

积分得

由热力学知，对于完全气体有，故上式可写为