量纲分析法有两种：一种方法是雷列法，它是应用量纲和谐原理建立物理方程，但它只适用于比较简单的变量不超过四个的物理过程；另一种方法是布金汉（Buckingham）的π定理。π定理是具有普遍性的方法，也是以下要介绍的方法。

π定理是这样定义的：任何一个物理过程，如果包含有n个物理量，涉及m个包含所有基本量纲的基本物理量，则这个物理过程可由n个物理量组成的（n－m）个量纲一的量π所表达的关系来描述，其中π是一个量纲一的独立参数。

例如，影响某一物理过程的n个物理量为A1，A2，A3，…，An，则这个物理过程可用一个函数表示，即

f（A1，A2，A3，…，An）＝0　（5．20）

如果这些物理量含有m个基本物理量，根据π定理，这个物理过程也可用（n－m）个量纲一的组合量π表示的关系式来描述，即

F（π1，π2，π3，…，πn－m）＝0　（5．21）

与式（5．20）比较，式（5．21）所包含的变量比式（5．20）减少了m个，而且是量纲一的量。这就使得式（5．21）具有重要的优点，这些优点通过以后的例题可以看出。

π定理可以从数学上得到证明，此处从略。以下首先说明π定理应用的步骤，然后举例。

应用步骤如下：

①确定对所研究的物理过程有影响的物理量，设共有n个：A1，A2，A3，…，An，按式（5．20）写出一般函数表达式，即

f（A1，A2，A3，…，An）＝0

做到这一点要求对该物理过程有足够的认识，正确地确定有影响的物理量。对流动来说，主要包括流体的物理特性、流动边界的几何特性和流动的运动特征等。影响因素（物理量）的确定是否全面和正确，将直接影响分析的结果。

②从这几个物理量中选取m个基本物理量，这m个基本物理量在量纲上要求是独立的。对于力学问题，一般m≤3。水力学问题中常以代表边界几何特征量（如管径）、表征运动的量（如平均流速v）以及与力或质量有关的量为这三个基本物理量。

③列出量纲一的参数π。根据π定理，构成（n－m）个量纲一的参数π的一般表达式为

式中，A1、A2及A3为所选的3个基本物理量；Ak为除去已选择的A1、A2及A33个基本物理量以后所余下的（n－3）个变量中的任何一个物理量；xi、yi及zi为对应于πi的待定指数。如果分开写，式（5．22）可写为

④因π是量纲一的参数，即［π］＝［L0］［T0］［M0］，所以根据量纲和谐原理，求出各π项的指数xi、yi、zi。

⑤写出描述物理过程的量纲一的关系式

F（π1，π2，…，πn－3）＝0

需要指出：量纲一的参数π可以取倒数或任意次方仍不影响其为量纲一的数的性质。因此，必要时可将所得到的各π参数乘其某一次方或乘除，以尽可能使各π项成为一般熟悉的量纲一的数，如雷诺数Re、佛汝德数Fr等形式。

例5．4 求节流式流量计（如孔板、喷嘴、文德利管）的流量关系式。影响喉道（缩小断面处）流速v2的因素有：进口断面直径d1、喉道直径d2、液体的密度ρ、动力黏度μ及两个断面的压强差Δp（假定流量计水平安装）。

解 现用π定理求出这个关系式：

①根据上述确定的影响因素，n＝6，可写为一般的函数关系式，即

f（v2，d1，d2，ρ，μ，Δp）＝0

②从上列6个物理量中选取3个独立的基本物理量：d2、v2、ρ。

③列出量纲一的参数π，共n－3＝（6－3）个＝3个。

④根据量纲和谐原理，求出各π项的指数如下：

式（a）：［L0T0M0］＝［L］［L］x1［LT－1］y1［ML－3］z1

对L：0＝1＋x1＋y1－3z1

T：0＝－y1

M：0＝z1

得 x1＝－1，y1＝0，z1＝0

由此得

同理求得

⑤将各π项代入式（5．21）得

即

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由此得节流式流量计流量一般计算公式，即

式中，量纲一的函数实际是一个系数，可由试验或分析进一步确定。可以看出，应用量纲分析法后，便找到了表达所研究的物理过程的一个具体关系式，这个关系式将原来6个变量关系简化为3个量纲一的参数之间的关系，即

如果这个函数关系式只能由试验确定，则试验次数将大大减少。例如，要测取几种不同比值的孔板流量计之函数，只需将每种作为固定参数，然后测取不同的值，绘制成如图5．2所示的关系曲线。这样得到的曲线十分清晰，使用也很方便。更重要的是试验非常方便，因为此时不需要用不同密度ρ和不同黏度μ的液体，要使量纲一的量变化，可以在保持ρ、μ及d不变的情况下，仅改变速度v即可。22

图5．2　量纲一的函数关系曲线

图5．3　薄壁三角堰

例5．5 已知通过薄壁三角堰的液体流量Q与下列因素有关：堰上水头H（图5．3）、重力加速度g，行近流速v0及堰口角φ，求该种堰的流量关系式。

解 此处共有5个物理量：

①写出一般函数式，即

f（Q，H，g，v0，φ）＝0

②这5个物理量中所涉及的基本量纲只有［L］及［T］两个，所以，m＝2，选取H及g为基本物理量。

③求量纲一的π，即

π1＝Hx1gy1Q

π2＝Hx2gy2v0

π3＝φ

④求出各量纲一的量π的指数x及y

求π1：π1＝Hx1gy1Q＝［L］x1［LT－2］y1［L3T－1］＝［L0T0］

对L　x1＋y1＋3＝0

对T　－2y1－1＝0

解得

故

求π2：π2＝Hx2gy2v0＝［L］x2［LT－2］y2［LT－1］＝［L0T0］

对L　x2＋y2＋1＝0

对T　－2y2－1＝0

解得

故

于是，其一般关系式为

或

解得Q

上两式中f及f1为未知函数，由试验或分析确定。如果选H和v0作为基本物理量代替H和g，则有

所以

解得 x1＝－2，y1＝－1及x2＝1，y2＝－2

故

因为π参数可以取其倒数或乘任意次方而不影响其量纲一的状况，所以上式可写为

未知函数f2具有与f1相同的参数，但它们却不是相同的函数。后面这个公式不是非常有用，因为一般情况下对三角堰行近流速v0可以忽略，这表明较次要的物理量不宜选作基本量。