除了核物理现象以外，质量守恒定律是自然界中的普遍定律之一，它在流体力学中的具体表现形式就是连续性方程式，它是流体力学中最基本也是最重要的关系式之一。

在过流断面为A1及A2的总流流段（控制体）中任取一流束，其两断面面积和流速分别为dA1、u1及dA2、u2，密度分别为ρ1、ρ2，如图4．1所示。由于微小流束表面是由流线围成的，所以没有流体的穿入或穿出，只有两端dA1和dA2流体的流入和流出。

图4．1　连续性方程

现考虑dt时间内，dA1流入的流体质量为ρ1u1dA1；同理，由dA2流出的流体质量为ρ2u2dA2。因此，在dt时间里通过此微小流束的实际流体质量为

dM＝ρ1u1dA1－ρ2u2dA2

对于恒定流动，微小流束的形状及各运动参数（如u、p等）都不随时间变化，又因为流体是无空隙的连续介质，所以根据质量守恒定律，在dt时间里微小流束的控制体（dA1及dA2断面所包围的体积）内，流体质量保持不变，即

dM＝0

故有

式（4．1）就是微小流束恒定流时的连续性方程。对于不可压缩流体，ρ＝常数，则有

式（4．2）就是不可压缩流体恒定流束的连续性方程。将式（4．1）和式（4．2）两边沿总流段整个过流断面A1及A2积分，就可得到总流的连续性方程，即

积分得

或

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式（4．3）表明，对任意流体（可压缩）恒定总流的流动，沿流程的质量流量保持不变，为一常数。式中ρ是断面上的平均密度。

对于不可压缩流体，ρ＝常数，则式（4．3）为

或

式（4．4）为不可压缩流体恒定总流的连续性方程。它确定了一元总流在恒定流条件下沿流程保持体积流量不变，为一常数；沿流程各过流断面上的平均流速与其断面积成反比，即断面大流速小，断面小流速大。这是不可压缩流体总流流动的一个基本规律。

注意：式（4．4）是针对控制面侧面无附加流体流入或流出的情况。对于在侧壁有流体的流出，即管道有分支或开岔，如图4．2所示，则根据连续性原理，应有

Q1＝Q2＋Q3

上式左端表示流入的体积流量，右端表示流出控制体各断面的体积流量之和，因而可得到恒定总流更一般形式的连续性方程为

图4．2　管道分支

图4．3　串联管流的控制体积

例4．1 一输水管如图4．3所示，断面①的平均流速v1＝2m／s，管径为500mm；断面②的管径为300mm，试求体积流量Q及断面②的平均流速v2。

解 由式（4．5）得

及