为了有效地进行线性预测分析，有必要用一种高效率的方法来解线性方程组。虽然可以用各种各样的方法来解包含p 个未知数的p 个线性方程，但是系数矩阵的特殊性质使得解方程的效率比普通情况下的效率要高得多。

在线性预测标准方程组中，n 的上下限取决于使误差最小的不同方法。当n 的求和范围不同时，导致不同的线性预测解法。经典解法有两种：一种是自相关法，另一种是协方差法。下面分别加以探讨。

（一）自相关法

这种方法在整个时间范围内使误差最小，并设s（n）在0 ≤ n ≤ N-1 以外等于0，即假定s（n）经过有限长度的窗（如汉明窗）处理。

通常，s（n）的自相关函数定义为

由于进行了加窗处理，所以自相关函数表示为

式中，r（j）仍保留了信号s（n）自相关函数的特性。主要有：①r（j）为偶函数，即r（j）=r（-j）；②r（j-i）只与j 和i 的相对大小有关，而与j 和i 的取值无关，即

类似地，最小均方误差可写为

方程组可以表示成矩阵形式，即

左边为相关函数矩阵（相关矩阵），以对角线对称，且主对角线以及和主对角线平行的任何一条斜线上所有的元素均相等。这种矩阵称为托普利兹矩阵。对于这样的矩阵方程不需要像求解一般矩阵方程那样进行大量的计算，利用托普利兹矩阵的性质可得到该方程的高效解。

这种矩阵方程组可以采用高效的递归方法求解。其基本思想是：递归解法分步进行。第一步已经有了一个解，这是一个i-1 阶预测器的系数；然后，利用i-1阶预测器的系数计算i 阶预测器的系数，即i 阶方程组的解可用i-1 阶方程组的解来表示，i-1 阶方程组的解又可用i-2 阶方程组的解表示，依此类推。因此，只要解出一阶方程的解，就可递推解出任意阶方程组的解。在这种递推算法中，最常用的是Levinson-Durbin 算法，这是一种最佳算法。该算法的过程和步骤如下。

1.对于i=0，有E0=r（0）；

2.对于第i 次递归，有

（3）对于j=1，…，i-1，有

注意，上面各式中括号内的上标表示预测器的阶数。可对i=1，…，p 进行递推求解，而最终解为

值得注意的是，对于阶数为p 的预测器，在解预测器系数的过程中，可得到i=1，…，p 各阶预测器的解，即阶数低于p 的各阶预测器的系数被求出。其中，aj

（i）表示i 阶预测器的第j 个系数。实际上，要求解p 阶预测器的系数，必须先求出i ＜ p 各阶的系数。

得

由上式可知，最小均方误差E0 一定要大于0，且随着预测器阶数的增加而减小。因此，每一步算出的预测误差总是小于前一步的预测误差。这就表明，虽然预测器的精度会随着阶数的增加而提高，但误差永远不会消除。同时，参数ki 一定满足(www.daowen.com)

可知，每一步递归的关键显然在ki。该系数具有特殊的意义，通常称为反射系数或偏相关系数（PATCOR）。式中所示的关于参数ki 的这个条件非常重要。可以证明，它就是多项式A（z）的根在单位圆内的充分必要条件。因此，它可以保证系统H（z）的稳定性。

（二）协方差法

协方差法与自相关法的不同之处在于，前者求和范围实际超过语音段范围，因而计算方法和结果也不相同。协方差法不需要对语言信号加窗，即不规定信号s（n）的长度范围。它可使信号的N 个采样点上误差最小，即把计算均方误差的间隔固定下来。假定计算r（j）中变量n 的范围为0≤ n ≤ N-1，即n 的求和范围为固定值N，因而有

这样，为了对全部j 值计算r（j），所需要的s（n）长度范围应该为-p≤ n ≤N-1，即为了计算r（j），需要N+p 个样本。为方便起见，也可定义s（n）的长度范围为0≤ n ≤ N-1，但是计算r（j）时，n 的范围为p≤ n ≤ N-1。这样，误差便在[p，N-1]范围内为最小。

式中r（j）已不是真正的自相关序列，确切地说是两个相似却并不完全相同的，有限长语音序列段之间的互相关序列，非常类似于修正的自相关函数。线性预测方程组性质的很大不同，形成了不同的求解方法。。

重写线性预测方程组，即

而

不难看出，此时和自相关法中情况不同。r（j）虽仍满足偶对称特性r（j）=r（-j），但是r（j-i）值不仅与j、i 的相对值有关，而且也取决于j、i 的绝对值大小，可以用c（j，i）来表示r（j-i），即

习惯上，将c（j，i）称为s（n）的协方差。实际上，从通常意义上讲，c（j，i）并不是协方差，协方差是指信号去掉了均值以后的自相关。

引入c（j，i）之后，预测方程组变为

写成矩阵形式，即

上面的矩阵有很多性质与协方差矩阵相似。显然，c（j，i）=c（i，j），因此由c（j，i）组成的p×p 阶矩阵是对称的，但它并不是托普利兹矩阵，因为c（j+k，i+k）≠c（j，i）。此时，求解不能采用自相关法中的简便方法，而可以用矩阵分解的楚列斯基（Cholesky）法进行，这种方法是将协方差矩阵C 进行LU 分解，即C=LU，其中，L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。由此得到一个有效的求解算法。

协方差算法的具体求解过程如下。

1.依据输入信号计算协方差矩阵C；

2.对矩阵C 进行LU 分解；

3.由L 和U 计算线性预测系数a1，a2，…，ap。

协方差法和自相关法具有不同的特点：① 前者适用于非平稳信号，而后者适用于平稳信号；② 在语音信号处理中，协方差法对于周期性语音可以得到比较好的结果，而自相关法对摩擦音来说较为适用；③ 利用基于Cholesky 分解的协方差法比基于Levinson-Durbin 递归法的自相关法，计算复杂性高；④ 米用自相关法时，由于使用了窗函数来截取，从而引入误差；而协方差法由于不需要加窗，计算精度大大提高；⑤ 用协方差法进行线性预测分析时，有时会导致严重的不稳定，因而不得不随时判定H（z）的极点位置，不断加以修正，才能得到稳定的结果。