对于阶跃状边缘，其二阶导数在边缘点出现零交叉，并且边缘点两旁像素的二阶导数异号。因此，对数字图像的每个像素计算关于x 轴和y 轴的二阶导数之和，即

本式称为拉普拉斯边缘检测算子，其模板如图8-7 所示，它是一个与方向无关的各向同性的边缘检测算子。

拉锌拉斯算子是一种二阶算子，它对图像中细线检测效果很好，但对噪声相当敏感，而且可能会产生双边缘。另外，由于拉普拉斯算子是各向同性的，因而它检测不到边缘的方向。

图8-7　拉普拉斯算子的模板

对于梯度算子和拉普拉斯算子来说，它们对噪　声都很敏感。所以，在一般的图像处理中，如果要检测图像边缘，首先要对图像进行平滑降噪处理。

Marr 算子是一种用得较多的先平滑再求导的边缘检测算子，它先用高斯函数对图像进行平滑处理。所用的高斯函数为

其中，σ 表示方差，其平滑作用的强度可通过调整σ 来控制。用h（x，y）对图像f（x，y）的平滑就是将图像与高斯函数做卷积，即(www.daowen.com)

设r 是函数上的点离原点的径向距离，即r2=x2+y2，然后对平滑处理后的图像g（x，y）采用拉普拉斯算子进行边缘检测，可得

这样，利用二阶导数算子过零点的性质，即可确定图像中阶跃状边缘的位置。式中的Δ2 h（x，y）算子称为高斯-拉普拉斯滤波算子（Laplacian of a Gaussian，LoG），也称为“墨西哥草帽”函数，它是一个轴对称函数，各向同性，其一个轴截曲如图8-8 所示。该函数在r=±σ 处有过零点，在|r|＜ σ 时为正，在|r|＞ σ 时为负。LoG 函数有如下两个特点。

图8-8　高斯-拉普拉斯算子截面图

1.图像的平滑程度取决于σ。σ 较小时边缘位置精度高，但边缘细节变化多；σ 较大时平滑作用大，但细节损失大，边缘点定位精度低。

2. LoG 滤波器采用拉普拉斯算子可以大大减少计算量，因为拉普拉斯算子具有各向同性，避免了由于方向性而造成的计算负担。

马尔算子用到的卷积模板一般半径为8 ～32 个像素。不过，这些模板可以分解为一维卷积来快速计算。也就是说，用Δ2 h 直接卷积图像进行边缘检测，与先用高斯平滑函数平滑该图像再计算所得结果的拉普拉斯算子是一样的。