信号的频率参量是随机变量的情况也是常见的。例如，在雷达中，从运动目标反射回来的信号的频率与发射信号的频率相差一个多普勒频率，多普勒频率与目标相对于雷达的径向速度成正比。如果目标的径向速度是未知的，那么回波信号的多普勒频率也是未知的。对于未知的频率，一般将它看作是一个随机变量。

对于简单二元随机频率和相位信号的检测，设发送设备发送的二元信号为

式中，A 为振幅，是确知参量；ω 为频率，是随机变量，其先验密度函数为p（ω），ωl ≤ ω ≤ ωh；θ 为相位，是随机变量，其先验概率密度p（θ）在区间（0，2π）上为均匀分布。

接收设备检测信号对应的两种假设为

式中，n（t）是均值为0，功率谱密度为N0/2 的高斯白噪声。

对于简单二元随机频率和相位信号的检测，可以先将频率看作是确知参量，利用简单二元随机相位信号检测的似然比，得到以频率ω 为条件的似然比，然后再对频率ω 取统计平均，得到平均似然比。

直接利用简单二元随机相位信号检测的似然比，得到以频率ω 为条件的似然比。要计算此积分，必须知道p（ω），但实际上是难以精确知道的，可用间隔任意小的离散密度函数来代替概率密度函数p（ω），从而用求和来近似代替积分。选择适当的频率增量Δω，则某一特定频率ωi 的出现概率为

式中

于是平均似然比变为

简单二元随机频率和相位信号检测的似然比检测的检测判决式为

由简单二元随机频率和相位信号检测的似然比检测的检测判决式可见，其最佳检测系统需要m 条支路，其中第i 条支路非相干匹配滤波器的中心频率为ωi，其包络检波器的输出为Mi；获得Mi 后完成I0（2AMi/N0）运算并乘以P（ωi）；将各条支路的输出求和得检测统计量：最后将检测统计量与门限进行比较，从而完成信号状态的判决。简单二元随机频率和相位信号的最佳检测系统如图4-18 所示。图4-18 中各匹配滤波器的冲激响应是

图4-18　随机频率和相位信号最佳检测系统(www.daowen.com)

对于小信噪比，贝塞尔函数可以近似为

假定频率的先验分布是均匀分布，即P（ωi）=1/m，则此时似然比为

因而判决规则可以表示为

式中，β 是门限。

在小信噪比情况下，频率和相位均匀分布信号的最佳接收系统如图4-19 所示。

图4-19　小信噪比情况下随机频率和相位信号最佳检测系统

对随机频率和相位信号检测也可以采用多元信号检测方法。这种方法既能检测信号，又能识别其频率。设信号频率具有m 个可能值之一（如果频率是连续随机变量，就用一组离散值做它的近似，相应地，用一组离散概率来近似其概率密度函数），每个离散频率ωi 对应一个假设Hi，即

假定各假设下相位都是均匀分布的。为简化分析，又假设各频率等概率出现，因而P（ωi）=1/m。对于固定振幅的情况，假设Hi 对假设H0 的似然比为

设似然比检测门限为Λ0，则判决规则为：如果没有一个Λi（x）超过Λ0，则判决假设H0 成立；否则，判决对应最大Λi（x）的假设Hi 成立。由于I0（2AMi/N0）是Mi 的单调增函数，故可直接用Mi 作为检测统计量，这时判决规则可以表述为：若最大的Mi 超过门限，则选择Hi，否则选择H0。完成这一功能的结构如图4-20 所示。因此，所有频率等概率出现时的多元信号检测最佳接收机，与所有频率的信号组成一个复合假设时的二元检测最佳接收机近似相同。对于起伏信号也可以得到同样的结果。

图4-20　随机频率和相位信号多元检测的检测系统