白噪声是一种功率谱密度在整个频带内为常数的平稳随机信号或平稳随机过程，可分为理想白噪声和带限白噪声。下面主要分析白噪声的统计特性。

（一）理想白噪声

理想白噪声是指功率谱密度在整个频率轴上为非0 常数的平稳随机信号或平稳随机过程。其功率谱密度表示为

式中，N0 为常数。

利用傅里叶反变换可求得理想白噪声的自相关函数。理想白噪声的自相关函数为

可见，理想白噪声的自相关函数仅在τ = 0 时才不为0；而对于其他任意的τ，自相关函数都为0。这说明，理想白噪声只有在相同时刻才相关，而在任意两个不同时刻上都是不相关的。理想白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图4-1 和图4-2 所示。

图4-1　理想白噪声的功率谱密度

图4-2　理想白噪声的自相关函数

实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围超过信息传输系统工作频率范围很多时，就可近似认为是白噪声。

（二）带限白噪声

如果平稳随机信号或平稳随机过程在有限频带内的功率谱密度为非0 常数，在频带之外为0，则称为带限白噪声。带限白噪声有两种：低通白噪声和带通白噪声。

1.低通白噪声

如果平稳随机信号或平稳随机过程的功率谱密度在|ω| ≤ Ω 内为非0 常数，而在|ω| ≤ Ω 外为0，则称为低通白噪声。低通白噪声可以看作是理想白噪声通过理想低通滤波器后得到的噪声。其功率谱密度表示为

式中，N0 为常数；Ω 为低通白噪声的带宽。

低通白噪声的自相关函数为

如果低通白噪声的均值为0，则其方差为

低通白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图4-3 和图4-4 所示。自相关函数Rn（τ）在τ = kπ/Ω（k =±1，±2，…）处为0。

图4-4　低通白噪声的自相关函数

图4-3　低通白噪声的功率谱(www.daowen.com)

2.带通白噪声

如果平稳随机信号或平稳随机过程的功率谱密度在以ω0 为中心的频带Ω 内为非0 常数，而在频带Ω 外为0，则称为带通白噪声。带通白噪声可以看作是理想白噪声通过理想带通滤波器后的输出噪声。其功率谱密度表示为

带通白噪声的自相关函数为

如果带通白噪声的均值为0，则其方差为Rn（0）= N0 Ω/2π。

带通白噪声的功率谱密度和自相关函数分别如图4-5 和图4-6 所示。

图4-5　带通白噪声的功率谱密度

图4-6　带通白噪声的自相关函数

3.随机信号的采样定理

如果随机信号的功率谱密度限制在某一有限频带内，则称为带限随机信号。带限随机信号可分为低通和带通随机信号。如果随机信号x（t）的功率谱密度Sx（ω）的满足

则x（t）称为低通随机信号，式中ωc 表示功率谱密度的最高角频率。

设以采样间隔Ts 对低通随机信号x（t）进行采样，采样后随机序列为x（kTs），只要采样频率fs 满足：

则有以下采样重构公式：

使x（t）在均方意义上等于x（t），即

随机信号采样定理的意义是：如果用大于或等于2 倍功率谱密度的最高频率的采样率对随机信号进行采样，从均方意义上讲，可以由采样序列准确地重构连续随机信号。

如果连续随机信号是平稳随机信号，则相应的采样序列也是平稳的。如果连续平稳随机信号是低通随机信号，则采样定理对其自相关函数也成立。

对于带通随机信号，功率谱密度在以ω0 为中心的频带Δω 内为非0 常数，而在频带Δω 外为0，如果中心频率ω0 远远大于3Δω/2，则采样频率fs 满足：

则随机信号采样定理成立。