（一）信号状态统计检测理论的模型

二元信号状态统计检测理论的模型如图3-1 所示。

图3-1　二元信号状态统计检测理论的模型

模型由以下4 部分组成。

1.信源

信源在某一时刻产生、输出两种信号状态中的一种。为了分析方便，我们把输出的两种状态信号分别标记为假设H0 与假设H1。

2.概率转移机构

概率转移机构将信源输出的假设Hj（j=0，1）为真的信号以概率Pj（j=0，1）映射到观测空间。

3.观测空间R

它是观测信号可能取值的整个空间。观测空间R 将概率转移机构映射来的信源输出信号，叠加观测噪声，形成观测信号的集合。观测信号可以是一维的随机信号x；也可以是N 维的随机信号矢量x。假设H0 为真时的观测信号矢量x，简称为观测信号矢量（x|H0），其概率密度函数为p（x|H0）；假设H1 为真时的观测信号矢量x，简称为观测信号矢量（x|H1），其概率密度函数为（x|H1）。

4.判决规则

观测空间形成观测信号x，作为信号的接收方，观测到信号矢量x 后，并不知道该信号是（x|H0）和（x|H1）观测信号矢量中的哪一个，因此需要进行信号状态的判决。观测信号矢量（x|H0）与（x|H1）的统计特性并不是完全相同的。基于这种它们两者之间的差别，根据采用的信号检测准则，将观测空间R 划分为两个子空间R0 和R1，对于硬判决而言，两个子空间的划分要满足

对观测信号矢量x，无论它是（x|H0）和（x|H1）观测信号矢量中的哪一个，当x 落入R0 子空间时，则判决假设H0 成立；当x 落入R1 子空间时，则判决假设H1 成立。如图3-2 所示。最佳划分两个子空间R0 和R1 能够实现信号状态的最佳检测。

图3-2　二元信号状态统计检测子空间划分示意图

（二）优化准则

判决规则是检测问题中一个至关重要的部分，判决准则也称为优化准则，就是根据观测值x 来选择其中的一个假设H0 或H1，使得判决结果或判决性能在某种意义上达到最优。

在二元假设检验问题中，假定信源输出受先验概率P（H0）、P（H1）控制，即

（1）P（H0）——假设H0 存在的概率。

（2）P（H1）——假设H1 存在的概率。

我们称P（H0）、 P（H1）为先验概率，因为它们是在对观测量x 进行统计检验之前就已经知道了，故而称为“先验”概率。

在二元假设检验问题中只有两个假设，或为H0 或为H1，二者必居其一，互不相容，即有

显然，一个合理的判决准则是在观测结果x 已知条件下，选择事件H0 或H1出现概率大的那一个事件，即通过比较P（H0| x）、P（H1| x）的大小来判定是选择H0 还是选择H1。即当

或

时，选择H1，否则选择H0。上述判决过程可以简化写成下列表达式

上式通常称为判决表示式。因为P（H0| x）、P（H1| x）两个条件概率是在得到观测值x 后事件H0 或H1 出现的概率，所以称它们为后验概率。根据上式进行判决的准则称为最大后验概率准则。

如果观测值x 是一个连续随机变量，那么判决规则用概率密度函数表示往往更方便。对于连续随机变量x，设p（x）表示x 的概率密度，则有

和

于是，判决表示式可写成

或(www.daowen.com)

其中，转移概率密度函数p（x|H1）和p（x|H0）通常称为似然函数，它们的比称为似然比，似然比定义为

所以，似然比检测的判决表示式为

其中，η 为判决门限。

图3-3　二元假设信号检验原理框图

（a）似然比检验；（b）对数似然比检验；（c）统计量σ（x）检验；（d）统计量σ（x）检验

根据上式组成的检测系统如图3-3 所示，该系统称为似然比处理器，有时也称为最优处理器。似然比处理器由似然比计算装置与门限装置两个基本部分组成。

似然比有以下两个重要性质。

1.似然比是非负的。因为条件概率密度函数p（x|Hi）（i=0，1）是非负的，所以Λ（x）也是非负的。

2.似然比Λ（x）是一维随机变量。

可以看出，似然比处理器的检测门限电平大小由假设H0 和的先验概率P（H0）和P（H1）决定。容易得出，的先验概率P（H0）越大，就更倾向于选择H0；还可以看出，当P（H0）大时，门限P（H0）/P（H1）就大，似然比Λ（x）超过门限的可能性就小，这样选择H0 的机会就更大。类似的说法对H1 的情况也是适用的。

在一些应用中，有关假设H0 或H1 出现的先验概率是不知道的，这时也许设

是合理的，此时门限电平为1，专门称为最大似然比准则。它是最大后验概率准则的特例。

似然比判决表示式通常是可以化简的。例如，在高斯噪声中的信号检测问题，因为似然函数是指数函数，所以似然比Λ（x）也是指数函数，此时，对似然比判决表示式两边取自然对数，这样就可以去掉似然比中的指数形式，从而使判决式得到简化。这样，信号检测的判决表示式变为

本式称为对数似然比检验，它对应的系统原理框图如图3-3（b）所示。

有时，对似然比检验表示式采用一些其他方法进行化简，使得判决表示式的左边是观测量x 的最简函数l（x），而判决表示式右边变为另一个门限γ。这样，判决表示式变为

其中，l（x）称为检验统计量；γ 为检测门限。通过检验统计量l（x）进行判决的系统原理框图如图3-3（c）和图3-3（d）所示。

图3-3 所示的4 种信号检测方法从本质来说都是一样的，它们只是实现上有不同的形式。

（三）信号检测性能

对于二元假设检验问题，在进行判决时可能发生下列4 种情况。

1. H0 为真，判决为H0，记为（H0 | H0）。

2. H1 为真，判决为H1，记为（H1 | H1）。

3. H0 为真，判决为H1，记为（H1 | H0）。

4. H1 为真，判决为H0，记为（H0 | H1）。

其中，情况1、2 属于正确判决；情况3、4 属于错误判决。

对应每一种判决结果（Hi | Hj）。（i，j = 0，1），有相应的判决概率P（Hi | Hj）（i，j = 0，1），它表示在假设Hj 为真的条件下，判决为假设Hi 的概率。设似然函数为p（x | Hi）（j = 0，1），判决规则把整个观测空间只划分为区域R0 和R1，则判决概率P（Hi | Hj）（i，j = 0，1）为

在雷达信号检测中，通常假设H0 对应信号不存在或目标不存在，H1 对应信号存在或目标存在，这时定义以下几个概念：

其中，条件概率PD 表示信号存在判定为信号存在的概率，称为检测概率（当有目标时视为有目标）；条件概率PF 表示信号不存在判定为信号存在的概率，称为虚警概率（当没有目标时视为有目标）；条件概率PM 表示信号存在判定为信号不存在，称为漏警概率（当有目标时视为没有目标）；总错误概率Pe 为

从本式可以看出，总错误概率Pe 不仅与两类错误概率有关，而且与两个先验概率P（H0）、P（H1）有关。对于二元通信系统一类的设备，用总错误概率表示比较合适。