下面以基带为例讨论采样之后的白噪声序列的性质（图2-17）。

图2-17　信号采样过程及抗混叠滤波器的作用

设图2-17（a）所表示的信号x（t）包含的最高频率为fm，如图2-17（b）中实线所示（不包括虚线部分）。采样序列用δΔt（t）表示，如图2-17（c）所示，采样间隔Δt = 1 / fs。采样过程在时域上为信号x（t）与δΔt（t）的乘积，在频域上则为信号的傅里叶变换X（t）与δΔt（t）的傅里叶变换δfs（f）的卷积。图2-17（d）为δΔt（t）的傅里叶变换。若按照采样频率fs = 2fm，对x（t）进行采样，根据奈奎斯特采样定理，采样得到的信号序列x（n）的频谱虽然是周期重复的，但不会发生混叠，如图2-17（e）中实线所示。因此可以用理想低通滤波器从中分离出原信号x（t）的频谱。如果x（t）中有高于fs / 2 的频率成分，如图2-17（b）中虚线所示，则信号序列x（n）的频谱将发生混叠，即原信号x（t）中大于fs / 2 的频率成分采样后折叠到fs / 2 之内。因此无法用滤波器将其分开，如图2-17（e）中虚线所示。为了避免采样过程中发生这种频谱混叠，通常在采样之前加一个抗混叠滤波器，如图2-17（b）所示。其作用是采样前先将带外信号滤除，采样后就不会发生频谱混叠，如图2-17（f）所示。抗混叠滤波器的（单边）带宽B 应满足fm ≤ B ≤ fs/ 2。当fs = 2fm 时，B = fm = fs / 2，如图2-18 所示。抗混叠滤波器在滤除带外信号的同时也限制了白噪声的功率。

图2-18　抗混叠滤波器带宽

双边功率谱密度为n0/2 的白噪声通过带宽为B 的抗混叠滤波器后的功率（即方差）为

经过理想低通滤波器后的窄带白噪声的相关函数为

其波形如图2-19 所示。

图2-19　经过抗混叠滤波器之后的白噪声的相关函数

设在0 ～T 时间内得到N 个采样点，则采样时间间隔为Δt = 1 / fs = T / N。所以fs = N / T，B =N /（2 T），得

若信号表示为

并假设在0 ≤ t ≤ T 区间内，正好包含s（t）的整数个周期。则的能量为

信号功率为(www.daowen.com)

令

其中，γ 为采样前白噪声背景中窄带信号信噪比的一种表示方式。对x（t）按Δt = 1 / fs，进行采样，得到序列x（n）= x（nΔt），则采样后的信噪比为

从而可得SNR 与γ 的关系

当抗混叠滤波器带宽和采样频率之间满足，B = fm = fs / 2 时，Δt = 1 / fs = 1 /（2B）。噪声在采样点之间的相关函数为零（图2-20），RN（Δt）= 0。对于零均值高斯白噪声，采样点之间是统计独立的。

当采样频率高于奈奎斯特采样频率时，采样后噪声的SNR 与γ 的关系比较复杂。

（1）如果fs ＞2fm，B = fm ＜fs / 2。与fs = 2fm 时相比，虽然提高采样频率没有影响采样后噪声的功率，但是由于此时Δt ＜1/（2B），因此噪声采样点之间的相关函数，RN（Δt）≠0，如图2-20 所示，即采样点之间具有相关性。这种情况的分析和仿真都比较困难。

图2-20　B = fm ＜fs / 2

（2）如果B = fs / 2 ＞fm。噪声采样点仍为不相关的（sin 函数主瓣之外幅度近似为零），SNR 表达式不变。因为对应相同的信号长度T，采样点数N 增大，所以采样序列的SNR 变小。但是对于零均值高斯白噪声情况，因为独立采样点数增加，所以利用N 个采样点进行处理的效果与B = fm = fs / 2 情况相同。仿真中通常针对的是这种情况，即对信号而言是过采样，同时对于高斯白噪声采样点是独立的。因此噪声的仿真和分析都比较方便。应当注意的是此时采样后噪声的方差= n0 fs/2 随采样频率的提高而增加。

若用cos（2πf0 t）进行（数字形式）相关解调，则解调输出噪声为

相关接收输出信噪比为

在满足B = fs / 2 ≥ fm 的情况下，（数字形式的）相关解调输出信噪比与采样频率无关。