由于地表高低起伏不平，所以一般用地面某点投影到参考曲面上的位置和该点到大地水准面间的铅垂距离来表示该点在地球上的位置。为此，测量上将空间坐标系分解为确定点的球面位置的坐标系（二维）和高程系（一维）。确定点的球面位置的坐标系有地理坐标系和平面直角坐标系两类。

1）地理坐标系

地理坐标系是用经纬度表示点在地球表面的位置。1884年，在美国华盛顿召开的国际经度会议上，正式将经过格林尼治（Greenwich）天文台的经线确定为0°经线，纬度以赤道为0°，分别向南北半球推算。明朝末年，意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1522—1610年）最早将西方经纬度概念引入中国，但当时并未引起重视，直到清朝初年，通晓天文地理的康熙皇帝（1654—1722年）才决定使用经纬度等制图方法重新绘制中国地图。他聘请了十多位各有特长的法国传教士，专门负责清朝的地图测绘工作。

按照坐标系所依据的基本线和基本面的不同以及求坐标方法的不同，地理坐标系又分为天文地理坐标系和大地地理坐标系两种。

（1）天文地理坐标系

天文地理坐标又称天文坐标，是表示地面点在大地水准面上的位置，其基准是铅垂线和大地水准面。它用天文经度λ和天文纬度φ来表示点在球面的位置。

如图1.4所示，过地表任一点P的铅垂线与地球旋转轴NS平行的平面称为该点的天文子午面，天文子午面与大地水准面的交线称为天文子午线，也称经线。

设G点为英国格林尼治天文台的位置，称过G点的天文子午面为首子午面。P点天文经度λ的定义：P点天文子午面与首子午面的两面角，从首子午面向东或向西计算，取值范围为0°～180°，在首子午线以东为东经，以西为西经。同一子午线上各点的经度相同。

过P点垂直于地球旋转轴NS的平面与大地水准面的交线称为P点的纬线，过地球质心O的纬线称为赤道。P点天文纬度φ的定义：P点铅垂线与赤道平面的夹角，自赤道起向南或向北计算，取值范围为0°～90°，在赤道以北为北纬，以南为南纬。

可以应用天文测量方法测定地面点的天文纬度φ和天文经度λ。例如，广州地区的概略天文地理坐标为23°07′N，113°18′E，在谷歌地球上输入“23°07′N，113°18′E”即可搜索到该点的位置，注意其中的逗号应为西文逗号。

图1.4　天文地理坐标

（2）大地地理坐标系

大地地理坐标又称大地坐标，表示地面点在参考椭球面上的位置，其基准是法线和参考椭球面。它用大地经度L和大地纬度B表示。由于参考椭球面上任意点P的法线与参考椭球面的旋转轴共平面，所以过P点与参考椭球面旋转轴的平面称为该点的大地子午面。

P点的大地经度L是过P点的大地子午面和首子午面所夹的两面角，P点的大地纬度B是过P点的法线与赤道平面的夹角。大地经、纬度是根据起始大地点（又称大地原点，该点的大地经纬度与天文经纬度一致）的大地坐标，按大地测量所得的数据推算而得。我国以陕西省泾阳县永乐镇石际寺村大地原点为起算点，由此建立的大地坐标系称为“1980西安坐标系”，简称80西安系；通过与苏联1942年普尔科沃坐标系联测，经我国东北传算过来的坐标系称为“1954北京坐标系”，简称54北京系，其大地原点位于现俄罗斯圣彼得堡市普尔科沃天文台圆形大厅中心。

2）平面直角坐标系

（1）高斯平面坐标系

地理坐标对局部测量工作来说是非常不方便的。例如，在赤道上，1″的经度差或纬度差对应的地面距离约为30 m。测量计算最好在平面上进行，但地球是一个不可展的曲面，应通过投影的方法将地球表面上的点位投影到平面上。地图投影有多种方法，我国采用的是高斯-克吕格正形投影，简称高斯投影。高斯投影的实质是椭球面上微小区域的图形投影到平面上后仍然与原图形相似，即不改变原图形的形状。例如，椭球面上一个三角形投影到平面上后，其3个内角保持不变。

高斯投影是高斯（1777—1855年）在1820—1830年为解决德国汉诺威地区大地测量投影问题而提出的一种投影方法。1912年起，德国学者克吕格将高斯投影公式加以整理和扩充并推导了实用计算公式。之后，保加利亚学者赫里斯托夫等对高斯投影作了进一步的更新和扩充。使用高斯投影的国家主要有德国、中国与俄罗斯。

如图1.5（a）所示，高斯投影是一种横椭圆柱正形投影。设想用一个横椭圆柱套在参考椭球外面，并与某子午线相切，称该子午线为中央子午线或轴子午线（central meridian）。横椭圆柱的中心轴CC′通过参考椭球中心O并与地轴NS垂直。将中央子午线东西一定经差范围内的地区投影到横椭圆柱面上，再将该横椭圆柱面沿过南、北极点的母线切开并展平，便构成了高斯平面坐标系，如图1.5（b）所示。

图1.5　高斯平面坐标系投影图

高斯投影是将地球按经线划分成若干带分带投影，带宽用投影带两边缘子午线的经度差表示，常用带宽为6°，3°和1.5°，分别简称为6°，3°和1.5°带投影。国际上对6°和3°带投影的中央子午线经度有统一规定，满足这一规定的投影称为统一6°带投影和统一3°带投影。

①统一6°带投影。从首子午线起，每隔经度6°划分为一带（见图1.6），自西向东将整个地球划分为60个投影带，带号从首子午线开始，用阿拉伯数字表示。

图1.6　统一6°带投影与统一3°带投影高斯平面坐标系的关系

第一个6°带的中央子午线的经度为3°E，任意带的中央子午线经度L0与投影带号N的关系为

反之，已知地面任一点的经度L，计算该点所在的统一6°带编号N的公式为(www.daowen.com)

式中，Int为取整函数。在fx-5800P编程计算器中，按键输入取整函数Int（）。

投影后的中央子午线和赤道均为直线并保持相互垂直。以中央子午线为坐标纵轴（x轴），向北为正；以赤道为坐标横轴（y轴），向东为正；中央子午线与赤道的交点为坐标原点O。

与数学的笛卡儿坐标系比较，在高斯平面坐标系中，为了定向的方便，定义纵轴为x轴，横轴为y轴，x轴与y轴互换位置，第Ⅰ象限相同，其余象限按顺时针方向编号[见图1.5（b）]，这样就可以将数学上定义的各类三角函数在高斯平面坐标系中直接应用，不需做任何变更。

我国位于北半球，x坐标恒为正值，y坐标则有正有负，当测点位于中央子午线以东时为正，以西时为负。例如，图1.5（b）中的P点位于中央子午线以西，其y坐标值为负。对于6°带高斯平面坐标系，y坐标的最大负值约为-334 km。为了避免y坐标出现负值，我国统一规定将每带的坐标原点西移500 km，也即给每个点的y坐标值加上500 km，使之恒为正，如图1.5（c）所示。

为了能够根据横坐标值确定某点位于哪一个6°带内，还应在y坐标值前冠以带号。将经过加500 km和冠以带号处理后的横坐标用Y表示。例如，图1.5（c）中的P点位于19号带内，其横坐标为yP=-265 214 m，则有YP=19 234 786 m。

高斯投影属于正形投影的一种，它保证了球面图形的角度与投影后平面图形的角度不变，但球面上任意两点间的距离经投影后会产生变形，其规律是除中央子午线没有距离变形以外，其余位置的距离均变长，离中央子午线越远，距离变形越大。

②统一3°带投影。统一3°带投影的中央子午线经度L′0与投影带号n的关系为

反之，已知地面任一点的经度L，计算该点所在统一3°带编号n的公式为

统一6°带投影与统一3°带投影的关系如图1.6所示。

我国领土所处的概略经度范围为73°27′E～135°09′E，应用式（1.3）求得统一6°带投影的带号范围为13～23，应用式（1.5）求得统一3°带投影的带号范围为24～45。可见，在我国领土范围内，统一6°带与统一3°带的投影带号不重叠，关系如图1.6所示。

③1.5°带投影。1.5°带投影的中央子午线经度与带号的关系，国际上没有统一规定，通常是使1.5°带投影的中央子午线与统一3°带投影的中央子午线或边缘子午线重合。

④任意带投影。任意带投影通常用于建立城市独立坐标系。例如，可以选择过城市中心某点的子午线为中央子午线进行投影，这样可以使整个城市范围内的距离投影变形都比较小。

（2）大地地理坐标系与高斯平面坐标系的相互变换

我国使用的大地坐标系有“1954北京坐标系”和“1980西安坐标系”，在同一个大地坐标系中，地理坐标与高斯平面坐标可以相互变换。由地面点的大地经纬度L，B计算其高斯平面坐标x，y称为高斯投影正算；反之，称为高斯投影反算。将点的高斯坐标换算到相邻投影带的高斯坐标称为高斯投影换带计算。

例如，已知P点在“1980西安坐标系”中的地理坐标为L=113°25′31.4880″E，B=21°58′47.0845″N，应用式（1.3）可以求得P点位于统一6°带的19号带内，应用高斯投影正算公式可以求得其高斯坐标为x=2 433 544.439 m，y=250 543.296 m，处理后的y坐标为Y=19 750 543.296 m。

高斯投影正反算与换带计算程序PG2-1.exe及其使用说明放置在配套教学资源包“\高斯投影程序”文件夹下，程序操作的视频演示文件放置在配套教学资源包“\教学演示片”文件夹下，程序取自参考文献[2]。

执行程序PG2-1前，应先用Windows记事本编写一个已知数据文件并存盘，已知数据文件名的前两个字符应为“da”，扩展名为“txt”，文件名总字符数≤8，文件名中最好不要含中文字符。在Windows资源管理器下双击程序文件PG2-1.exe，在弹出的程序界面下输入已知数据文件名后按“Enter”（回车）键，程序自动生成前两个字符分别为“SU”的成果文件为“CS”及“SK”的两个坐标文件。

执行程序PG2-1的界面如图1.7（a）所示，图1.7（b）为一个高斯投影正算已知数据文件案例。

图1.7　程序PG2-1.exe的运行界面与已知数据文件案例

CS坐标文件的内容如图1.8（a）所示，可用于南方测绘数字测图软件CASS展点及上载到拓普康与南方全站仪内存；SK文件的内容如图1.8（b）所示，可用于上载到索佳、徕卡与中纬全站仪内存；SU文件为用于计算存档的成果文件，部分内容如图1.9所示。执行程序前，应使程序与已知数据文件位于用户机器硬盘或U盘的同一文件夹下。程序除计算出点的高斯坐标外，还能计算出点所在1∶100万～1∶5千8种国家基本比例尺地形图的图幅编号及其西南角经纬度，分幅规则见第10.1节。

图1.8　执行程序PG2-1.exe输出的两个坐标文件案例

图1.9　执行程序PG2-1.exe输出的案例成果文件部分内容