平面与回转体表面相交，其截交线是由曲线，或曲线与直线段，或直线段所组成的封闭平面图形。求作平面与回转体的截交线基本方法：求出截平面与回转体表面上若干个共有点，如确定截交线形状和范围的特殊点（最大范围点、可见与不可见的分界点等），以及间距较大特殊点的中间点，然后依次连接各点，并判断可见性，最后整理轮廓线。

（1）平面与圆柱相交

根据截平面与圆柱轴线相对位置不同，平面截切圆柱后截交线分别是矩形、圆、椭圆，见表3.1。

图3.16　求棱柱的截交线

表3.1　平面与圆柱面相交

续表

【例3.8】　如图3.17（a）所示，求圆柱被正垂面P 截切后的水平投影。

图3.17　求圆柱的截交线

分析：截平面P 倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆。由于截平面P 为正垂面，圆柱的轴线为侧垂线，因此，截交线的正面投影积聚为直线段，侧面投影积聚为圆，而水平投影为椭圆。

作图：

①作特殊点。A、B 和C、D 是截交线上的最低（高）点和最前（后）点，也是截交线水平投影椭圆的长轴、短轴端点。它们的正面投影a′、b′、c′、d′和侧面投影a″、b″、c″、d″可直接作出，再根据投影规律作出水平投影a、b、c、d，如图3.17（b）所示。

②作中间点。为准确作图，在特殊点之间作出适当数量的中间点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影，如图3.17（c）所示。

③连线并判断可见性，整理轮廓线，完成作图。

【例3.9】　求作图3.18（a）所示带切口圆柱的侧面投影。

分析：圆柱切口由两个侧平面和一个水平面截切圆柱中间部分而成。其中两个截平面截切圆柱后截交线的侧面投影为矩形，截交线的水平投影是两条平行直线；水平面截切圆柱后截交线的水平投影为圆弧，截交线的侧面投影是直线段。

图3.18　求带切口圆柱的侧面投影

作图：

①圆柱切口的两个侧平面对称于圆柱的轴线，故两截交线的侧面投影重合。由它们的正面投影1′、2′、3′、4′和水平投影1、2、3、4 求得侧面投影1″、2″、3″、4″，如图3.18（b）所示。

②水平面截切圆柱的前后两条圆弧的侧面投影分别积聚为3″之前和4″之后的两条直线段，3″4″为两截切平面交线的侧面投影。

③整理轮廓线。从正面投影可知，圆柱最前素线和最后素线被切掉，所以在侧面投影中，圆柱体的转向轮廓线由截交线1″3″、2″4″代替，如图3.18（c）所示。

图3.19 为空心圆柱被截切的情况，截平面与圆柱内外表面都有交线，作图时注意判断。

图3.19　空心圆柱被截切

（2）平面与圆锥相交

根据截平面与圆锥轴线相对位置不同，平面截切圆锥后截交线分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线、三角形，见表3.2。

表3.2　平面与圆锥面的交线

续表

【例3.10】　如图3.20（a）所示，求圆锥被正垂面截切后的投影。(www.daowen.com)

分析：截平面与圆锥轴线的倾角大于母线与轴线的倾角，截交线为椭圆。截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影的特殊点根据点、线的从属关系直接求出，其余各点用辅助圆法求出。

图3.20　圆锥被正垂面截切

作图：

①求特殊点。椭圆长轴端点A、B 是截交线上的最低、最高点，正面投影a′、b′可直接确定，水平投影a、b 和侧面投影a″、b″根据圆锥最左、最右轮廓线的投影来确定。椭圆短轴端点C、D是截交线上的最前、最后点，正面投影c′、d′重影在a′b′的中点，利用纬圆法可求出水平投影c、d 和侧面投影c″、d″。截交线上位于圆锥面最前、最后轮廓素线的点E、F 也必须求出，正面投影e′、f′重影为一点，侧面投影e″、f″位于圆锥面最前、最后轮廓线侧面投影上，水平投影e、f根据点的投影规律求出，如图3.20（b）所示。

②求中间点。用纬圆法作若干中间点，如G、H，如图3.20（c）所示。

③依次连接各点的同面投影，并判断可见性，整理轮廓线，完成作图，如图3.20（d）所示。

【例3.11】　补全图3.21（a）所示的圆锥被截切后的水平投影，并画出它的侧面投影。

分析：圆锥被正垂面Q 和水平面P 截切，截平面Q 通过锥顶，截交线为三角形；截平面P垂直于圆锥轴线，截交线是圆弧；截平面Q 和P 的交线是一条正垂线。

作图：

①作平面Q 的截交线。过A、B 作垂直于圆锥轴线的纬圆，作出它的水平投影圆；由a′、b′作铅垂投影连线，与该圆分别交前后两点a、b，再根据正面投影a′、b′和水平投影a、b 求得侧面投影a″、b″；将锥顶S 的水平投影、侧面投影分别与A、B 的同面投影相连，如图3.21（b）所示。

图3.21　补全圆锥被平面截切后的投影

②作平面P 的截交线。平面P 的截交线位于过A、B 作垂直于圆锥轴线的纬圆上，水平投影是该圆上a、b 两点间左部分圆弧，侧面投影积聚为直线段。

③补画两截平面交线的投影，并判断可见性，整理轮廓线，完成作图，如图3.21（c）所示。

（3）平面与圆球相交

平面与圆球相交，其截交线是圆。当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影反映实形；当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线，直线的长度等于截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆，见表3.3。

表3.3　平面与圆球面的交线

【例3.12】　如图3.22（a）所示，求圆球被正垂面截切后的投影。

分析：圆球被正垂面截去左上角，截交线是一个正垂圆，其正面投影积聚为直线段，水平投影和侧面投影为椭圆。

作图：

①作特殊点。如图3.22（b）所示，A、B 和C、D 是截交线上的最左（低）、最右（高）点和最前、最后点，也是截交线水平和侧面投影椭圆的长轴、短轴端点。A、B 点的三面投影可直接求出，C、D 点的水平投影和侧面投影用纬圆法求得；此外E、F、G、H 是圆球最大水平圆和最大侧平圆上的点，三面投影根据投影关系直接求出。

②作中间点。用纬圆法在以上特殊点之间求作若干中间点，如点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图3.22（c）所示。

③依次连接各点的水平投影和侧面投影，并判断可见性、整理轮廓线，完成作图，作图结果如图3.22（d）所示。

图3.22　圆球被正垂面截切

【例3.13】　求图3.23（a）所示的半圆球被切槽后的投影。

分析：该立体是在半球上部被两个侧平面R、Q 和一个水平面P 截切。平面R、Q 对称分布于半圆球左右两侧，截交线的侧面投影重合为一反映实形的圆弧，水平投影积聚为两条平行直线；平面P 截切后的截交线为一水平圆弧，水平投影反映实形，侧面投影积聚为直线。

作图：

①延长PV 交半圆球最大正平圆的正面投影于1′，求出水平投影1，过1 作截平面P 与半圆球截交线的水平投影圆，过b′（c′）作投影连线，交圆于b、c，如图3.23（b）所示。

②求出a″，作截平面R、Q 与半圆球截交线的侧面投影b″a″c″圆弧。

③判断可见性，并整理轮廓线，完成作图，作图结果如图3.23（c）所示。

图3.23　半球被平面截切