优化峰值电流控制型开关调节系统

时间：2023-06-17 理论教育 版权反馈

【摘要】：在双环控制系统中若选取电感电流为反馈信号，则是平均电流控制，若选取功率开关管的电流作为反馈信号，则是峰值电流控制，上一小节已对平均电流控制的开关调节系统作了分析和研究，本小节主要任务是分析和研究峰值电流控制型开关调节系统。这就是峰值电流控制型开关调节系统一个周期的工作过程。图2-33 峰值电流控制型开关调节系统图2-34 控制量和开关晶体管电流波形峰值电流控制又称为电流程序控制模式。

优化峰值电流控制型开关调节系统

在双环控制系统中若选取电感电流为反馈信号，则是平均电流控制，若选取功率开关管的电流作为反馈信号，则是峰值电流控制，上一小节已对平均电流控制的开关调节系统作了分析和研究，本小节主要任务是分析和研究峰值电流控制型开关调节系统。

1.峰值电流控制型开关调节系统的组成和基本工作原理

图2-33所示为基于Buck变换器的峰值电流控制型开关调节系统，其中功率开关管电流采样网络、模拟比较器、窄脉冲时钟信号发生器、RS触发器等组成了峰值电流控制器，其作用是使得开关管的电流峰值i_s（t）跟随电压控制器输出信号u_CP（t）（或控制量i_c（t））的变化。系统的内环是由峰值电流控制器、驱动电路、功率级组成，系统的外环是由电压采样网络、比较器、电压补偿网络和等效功率级组成。

峰值电流控制系统的工作原理是：通过电压采样网络将检测到的输出电压与参考电压u_ref相比较，产生误差信号作为电压补偿网络的输入信号，电压补偿网络的输出信号i_c（t）R_s作为电流环的控制信号。在电流环中，时钟脉冲作为开关周期的时间起点，当时钟脉冲到来时，使得RS触发器置“1”，通过驱动电路，令开关晶体管VF导通。当开关管导通后，续流二极管VD关断。在此期间，开关管的电流i_s（t）等于电感电流i_L（t），电感电流以斜率m₁=di_L/dt=（U_g-U）/L上升，当反馈信号i_s（t）R_s等于控制信号i_c（t）R_s时，模拟比较器输出为1，令RS触发器置“0”，通过驱动电路关断开关晶体管VF，续流二极管VD导通，电感电流开始下降。这就是峰值电流控制型开关调节系统一个周期的工作过程。其控制量i_c（t）和开关晶体管电流i_s（t）的波形以及与主电路开关器件的关系如图2-34所示。

图2-33 峰值电流控制型开关调节系统

图2-34 控制量和开关晶体管电流波形

峰值电流控制又称为电流程序控制模式（Current Programmed Control Model，CPM）。其主要优点是：①具有良好的动态性能。原功率级控制-输出的传递函数为双重极点型，引入电流控制后，新功率级的控制-输出的传递函数比原功率级少了一个低频极点，电流反馈的作用将另一极点移到了开关频率附近，使补偿网络简化；②将峰值电流作为反馈量，在故障时可限制系统过流；③能减小或消除主电路中因有变压器而产生的偏置问题。峰值电流控制能通过改变占空比来实现变压器的正负电压伏秒平衡，消除变压器的饱和。峰值电流控制的缺点是控制电流i_c（t）和开关晶体管电流i_s（t）的抗干扰能力差。

2.电流控制稳定性问题^[33]

峰值电流控制系统中当占空比D＞0.5时，会出现不稳定现象，此现象被称之为次谐波振荡，次谐波振荡的系统是不稳定的。关于次谐波振荡问题可用一阶离散时间分析法进行讨论。

为了便于讨论，假设：①电流环的控制量为i_c（t）常数（不受次谐波振荡的影响）。电感电流和控制量波形如图2-35所示，图中m₁为电感电流增加的斜率，m₂为电感电流减少的斜率；②加入微小扰动后，变换器能工作在稳态的附近，且m₁和m₂保持不变。

在t=dT_s时，有

图2-35 电感电流和控制量波形

在t=T_s时，有

i_L（T_s）=i_L（0）+m₁dT_s-m₂d′T_s （2-64）稳态时，i_L（T_s）=i_L（0），令m₁=M₁，m₂=M₂，由式（2-64）可得

式（2-65）表明，系统是稳定的，它也是稳态时电感伏秒平衡的体现。

下面讨论产生微小扰动后的情况。扰动前后电感电流的波形如图2-36所示。图中I_L0是i_L（0）的稳态值，是扰动量，i_L（0）的表达式为

图2-36 扰动前后电感电流波形

在图2-36中，由于假定了i_c及m₁保持不变，所以。在一个周期结束时，为负值，用替代作为初值，可以得到下一个周期的分析结果，且。所以，和的振荡频率是一半的开关频率，也即次谐波振荡。由分析结果可得

式中，是第n个周期的扰动量。

下面对式（2-68）进行讨论：

① 当D＜0.5，α＜1时，随着n增加，，电流内环是稳定的；

② 当D=0.5，α=1时，随着n增加，，电流内环处于临界稳定；

③ 当D＞0.5，α＞1时，随着n增加，，电流内环是不稳定的。

如图2-37和图2-38所示分别为D＜0.5和D＞0.5时的电感电流波形图。

图2-37 D＜0.5时电感电流波形

图2-38 D＞0.5时电感电流波形

由前面的讨论可知，引入峰值电流控制后当D＞0.5时，电流环会出现次谐波振荡，使系统不稳。次谐波振荡与主电路的拓扑无关，也不能通过电压环的设计来消除，它只能通过增设人工斜坡补偿来解决。增加人工斜坡补偿的目的是减少电流环在1/2开关频率处的增益。

人工斜坡补偿波形如图2-39所示，引入人工补偿，就是给控制量i_c叠加一个负斜率的斜坡-m_a，使新控制量变为（i_c-i_a（t）），斜率为-m_a。增加人工斜坡补偿后，电感电流的波形如图2-40所示，在开关管关断时刻，电感电流为i_L（dT_s）=i_c-i_a（dT_s）（2-69）

图2-39 斜坡补偿波形

图2-40 电感电流和补偿电流波形

式（2-68）可改写成

通过合理设计m_a，使|α|＜1，可使系统稳定。

有文献介绍取m_a=0.5m₂，代入式（2-71）中有：①当D=1时，α=-1；②当0＜D＜1时，|α|＜1；结论：m_a=0.5m₂是m_a的最小值。

另一种取法是取m_a=m₂，代入式（2-71）中有：对所有的D，均有α=0。即可在一个开关周期内消除扰动，这种特性称无差拍。

工程设计中兼顾各方面的因数，取m_a=0.75m₂为宜。

上述讨论是在假设控制量i_c为常数的条件下进行的，当控制量i_c（t）有一小扰动时，会对系统产生较大的影响。引入人工斜坡补偿后，小扰动可被有效地抑制，如图2-41所示。

人工斜坡补偿电路可由图2-42所示的电路模型实现。由于在PWM控制IC中一般定时电容C_T能提供一斜坡电压，因此，可用C_T上的电压作为斜坡补偿网络的输入信号，所以这里给出了通用人工斜坡补偿电路如图2-43所示。

图2-41 人工斜坡补偿对干扰的抑制

图2-42 峰值电流控制器

图2-43 通用人工斜坡补偿电路

用定时电容C_T上的峰-峰值ΔU_osc作为人工斜坡补偿网络的输入信号。交流耦合电容C₁将C_T上的交流信号传输到R₁和R₂组成的分压网络。在IC中的I端获得人工斜坡补偿信号，R₁、C₂组成的尖峰电流吸收器可以使开关管上的电流I_P顺利传输到IC中的I端，同时滤除尖峰干扰信号。因此，斜坡补偿信号和电流检测信号在IC的I端求和，可实现斜坡补偿。

一般C₂≤1000pF，对开关管的电流信号相当于开路，在设计斜坡补偿网络时，令C₂开路。由于交流耦合电容C₁的数值较大，可忽略C₁上的交流电压，在设计斜坡补偿网络时，可令C₁短路。斜坡补偿网络的输入信号为C_T的峰-峰值ΔU_osc。根据上述分析，可得到简化电路如图2-44所示。

图2-44 人工斜坡补偿电路的简化电路

图2-45 峰值电流控制的双环系统框图

3.峰值电流控制一阶模型

如图2-45所示为峰值电流控制型双环开关调节系统框图，由图可见，在CPM型变换器中，占空比不仅受控制量i_c（t）控制，还受变换器的电压和电流的控制，是个多输入单输出的控制系统。CPM型变换器建模的基本思路是：找出控制量i_c（t）与占空比d（t）之间的数学关系，再用本书第1章介绍的建模方法求解CPM型变换器的交流小信号模型。

峰值电流控制环的模型按假设的不同分为一阶模型和精确模型，在此先讨论的是一阶模型。

为了获得一阶模型，假定电感电流的平均值＜i_L（t）＞T_s等于控制量i_c（t），即忽略人工斜坡补偿和电感电流纹波的影响。为此，电感电流不再是独立的状态变量，在交流小信号传递函数中，它也不再会产生一个极点，从而使系统简化为一阶系统，所得到的模型称一阶近似模型。

下面以如图2-46所示的Buck变换器为例，介绍推导一阶近似模型的方法。电感电流的波形如图2-47所示。对Buck变换器，平均小信号系统模型如图2-48所示。

图2-46 Buck变换器

图2-47 电感电流波形

图2-48 Buck变换器平均小信号系统模型

基于这个数学模型，可得到如下微分方程组

对上式取拉普拉斯变换，得

在系统是稳定系统、忽略人工斜坡补偿影响和电感纹波影响的前提下，假定等于控制量，则有

式（2-74）代入式（2-73a）后，并求出的表达式为

由上式可知，不仅受控制，而且受输入电压和输出电压控制。

将式（2-75）代入式（2-73），并利用式（2-74）和如下稳态时的关系式

U=DU_g

可得到

式（2-77）和式（2-78）是CCM-CPM型Buck变换器的一阶近似电路模型。用上述方程构成小信号交流等效电路模型如图2-49所示，它表征变换器输入和输出端口的动态特征。

图2-49 CCM下的CPM型Buck变换器一阶小信号模型

a）输入端口 b）输出端口

将图2-49a和图2-49b组合成如图2-50所示的双端口CCM-CPM型变换器标准模型，这个模型适用于研究Buck、Boost和Buck-Boost变换器。标准模型的参数与DC-DC变换器类型相关，见表2-6。用如图2-50所示的模型可以求出变换器的动态特性。

为了求控制-输出传递函数，令如图2-49所示峰值电流型标准模型中=0，可得

图2-50 双端口CCM-CPM型变换器标准模型

表2-6 一阶近似模型中各参数的计算公式

以Buck变换器为例，查表2-6各参计算公式，数控制-输出传递函数为

一阶模型也可用平均开关模型来推导，用平均开关模型能保留更多的原电路信息。这里以Buck变换器为例，用平均开关模型研究峰值电流控制模式的等效电路及其特性。Buck变换器如图2-51所示，端口电压和电流的定义如图2-51所示。

图2-51 CCM-CPM型Buck变换器

为了方便推导，引入如下假设：

假设1：电感电流的平均值近似等于控制电流，则有

＜i₂（t）＞_T_s=＜i_c（t）＞_T_s （2-81）

假设2：开关网络为一个无损网络，开关网络的平均输入功率等于平均输出功率，则有

＜i₁（t）＞_T_s＜u₁（t）＞_T_s=＜i_c（t）＞T_s＜u₂（t）＞_T_s=＜p（t）＞_T_s （2-82）为了求效信号系统模型，引入小信号扰动为

引入小信号扰动后，功率平衡方程式为

Buck变换器的稳态解为

U₁I₁=U₂I_c （2-85）

I₁=DI_c

为了获得描述变换器动态特性的线性方程，引入小信号假设，即有假设3。

假设3：扰动信号比稳态量小得多，则有

经线性化处理，忽略二阶扰动量，可得到如下的小信号模型：

由式（2-87）可求得输入端口电流扰动为

输出端口电流扰动为

将线性化后的二端口网络代回原网络中，得到式（2-88）、式（2-89）的电路如图2-52所示。

图2-52 CCM-CPM型Buck变换器的小信号模型

由于开关网络的输出端口用独立电流源表示；在输入端口，式（2-88）等式右边每项对应着输入端口的一个电源或一个电阻。用图2-52这个模型求得动态特性有诸多不便。因为用这个模型求解特性，各稳态量U₁、I₁、U₂、I₂必需已知，又如，输入端口与输出端口相互耦合，使求解过程便复杂等等。

在稳态解中，，代入式（2-88）中，并取拉氏变换后，则有

由如图2-52所示的输出端口可以求得

将式（2-91）代入式（2-90），并令，则输入端口有

根据式（2-92）可得到变换后的CPM型Buck变换器小信号模型，如图2-53所示。

图2-53 CPM型Buck变换器的小信号简化模型

如图2-53所示的CPM型Buck变换器的小信号模型，可用以研究Buck变换器的动态特性。由于独立的电流源与电感串联，使电感L对新功率级没有影响。根据图2-53求等效功率的传递函数为

可见，与式（2-80）完全相同，同时也证明了引入峰值电流控制后，新功率级传递函数只有一个低频极点，比原功率级的传递函数少了一个低频极点。

由上面分析可知，峰值电流控制使Buck变换器中开关网络的输出端口变为一个独立源，因此输入电压的扰动对输出电压没有影响，即

式（2-94）表明：峰值电流控制是通过调整占空比，使得电感上的电流恒定而不受输入电压u_g波动的影响。

4.峰值电流控制精确模型

一阶模型虽然能较好地反应CPM型变换器的低频特性，但不能描述CPM型变换器的某些特性。如式（2-94）表明，用一阶模型分析Buck变换器输入电压波动对输出电压的影响时，由于输出端口变为一个独立源，因此输入电压扰动对输出电压没有影响。而事实上，引入峰值电流控制后，虽然可减少输入电压波动对输出电压产生的影响，但不能完全消除其影响。在推导峰值电流控制环一阶模型时，引入了电感电流的平均值等于控制电流的假设，忽略了电感电流纹波和补偿锯齿波电流（人工斜坡补偿电流）影响，因此一阶模型只适用于电感电流纹波较小，且补偿锯齿波电流斜率较小的场合。为了更准确的描述CPM型开关变换器的动态特性，需要获得更为精确的模型，这里将介绍精确模型的推导。

精确模型推导的思路是，考虑电感电流纹波和人工斜坡补偿的影响，并基于电感电流平均值的方程，导出占空比与控制电流、输入电压、输出电压和人工斜坡补偿斜率的表达式，将其应用于开关变换器的小信号交流等效模型，最终获得CPM型开关变换器的精确模型。

如图2-54所示为电感电流i_L（t）、控制电流i_c（t）、人工斜坡补偿电流i_a（t）的波形及其各量之间的关系。从图中可见：①在t=dT_s处，i_L（t）=i_c（t）-m_adT_s，存在人工斜坡补偿的影响；②动态情况下，i_L（0）≠i_L（T_s）；③在一个开关周期内，峰值电流与上升段的平均电感电流差值为m₁dT_s/2，峰值电流与下降段的平均电感电流差值为m₂d′T_s/2，电感电流存在纹波。

图2-54 电感电流平均值与控制电流之间的关系

由图可得出在一个开关周期中电感电流平均值为

式（2-95）精确的描述了＜i_L（t）＞_T_s与＜i_c（t）＞_T_s之间的关系。为了获得小信号交流模型，引入下面小信号扰动：

表2-7给出了不同变换器运行时电感电流上升和下降斜率的计算公式。

由于m_a是由控制电路决定的，所以m_a的扰动量忽略不计，即m_a=M_a。引入扰动时，即将式（2-96）代入式（2-95），并略去高阶微小量项，则有

对于Buck变换器稳态时存在，则

所以有

M₁D=M₂D′ （2-98）

同理可证明，在其余两种变换器中，式（2-98）也成立。因此，式（2-97）可进一步简化为

由此可求得占空比为

由表2-7可知，和是和的线性函数，式（2-100）可改写为

式中，F_m=1/（M_aT_s）；F_g和F_u分别为输入和输出电压扰动量引起占空比变化的控制系数。式（2-101）表明，占空比受控制量、电感电流、输入电压和输出电压等诸多变量的控制。

式（2-101）是峰值电流控制时占空比函数的一般表达式，式中对应于不同变换器的F_g、F_u控制系数见表2-8。

由峰值电流控制的占空比公式（2-101）可画出峰值电流控制器的原理框图如图2-55所示。

表2-7 电感电流上升和下降斜率计算公式

表2-8 基本变换器控制系数计算公式

由于在上述讨论中，被定义为电感电流平均值的扰动量，而不是峰值的扰动量，实际上是将峰值电流控制模式转化为平均值控制模式。因此，研究峰值电流控制开关变换器的动态特性时，也可采用小信号交流平均模型。将图2-55所示的峰值电流控制器原理框图应用到各种DC-DC变换器的小信号交流模型中，可得到对应变换器的电流控制模型，图2-56给出了峰值电流控制的三种基本变换器的小信号交流模型。

图2-55 峰值电流控制器原理框图

为了求等效功率级的传递函数，首先要找到电感电流平均值扰动量、输出电压扰动量分别与之间的线性关系，基于图2-56所示的模型，这种线性关系用频域表示时，有

式中各传递函数为

将式（2-104）代入式（2-101）的频域表达式，经整理可得

再将式（2-105）代入式（2-103）可得到

图2-56 峰值电流控制的三种基本变换器小信号交流模型

a）Buck变换器 b）Boost变换器 c）Buck-Boost变换器

所以，等效功率级电流控制-输出的传递函数为

等效功率级的音频衰减率为

式（2-107）和式（2-108）是三种基本变换器计算传递函数的通用公式。

5.峰值电流控制精确模型的应用

下面以Buck变换器模型为例，不考虑反馈作用，讨论峰值电流控制精确模型的应用问题。根据如图2-56a所示的小信号交流等效电路，系统的开环传递函数为

(www.daowen.com)

式中

由于电感电流为，则有

当可忽略人工斜坡补偿网络影响时，有M_a=0，则F_m=1/（M_aT_s）→∞；当可忽略电感电流纹波影响时，有F_g→0，F_u→0，在上述条件下，可得到音频衰减率为

式（2-113）与一阶模型所得式（2-94）结果一致，可见，假设＜i_L（t）＞T_s=＜i_c（t）＞T_s等价于F_m→∞，F_g→0，F_u→0。

G_ug（s）G_id（s）=G_ig（s）G_ud（s），所以式（2-108）中最后一项等于零。

对于Buck电路，从表2-8中查得F_g和F_u的表达式，并将结果代入式（2_-108）得

将上式整理后得

式（2-116）给出峰值电流反馈如何改变Buck变换器的直流增益。在占空比控制的电路中，直流增益为D，而引入电流反馈后有利于减少输入电压波动对输出电压的影响。其原因是当F_g≠0时，相当于引入了一个前馈环节。在式（2_-108）中，G_ug（s）项是输入电压波动通过功率级直接对输出产出的影响；F_mF_gG_ud（s）则是输入电压波动通过反馈网络对输出产生的影响。因此，当M_a=0.5M₂时，有

F_mF_gG_ud（s）=G_ug（s），说明引入峰值电流控制可以消除输入电压波动对输出产生的影响。

同理可求得等效功率级的传递函数为

式中，ω_C和Q_C由式（2-117）和（2-118）确定，为了有别于穿越角频率ω_c，此处角频率的下标用大写字母“C”标注。

式（2-120）中各参数G_C0、ω_C和Q_C的表达式描述了电流反馈对功率级性能的影响，进一步分析如下：

① 没有电流反馈时，功率级静态放大倍数为G₀=U/D。引入电流反馈后，通常，G_C0＜G0，因此电流反馈使静态放大倍数减小。

② 没有电流反馈时，功率级的谐振频率为。引入电流反馈时，谐振频率为ω_C。由反馈理论可知，反馈的作用使放大器上限频率增加，所以ω_C＞ω₀。

③ 没有电流反馈时，系统的品质因数。引入电流反馈后，品质因数下降，所以Q_C＜Q₀。

为了便于查阅Buck、Boost、Buck-Boost变换器各种传递函数，表2-9、2_-10、表2-11分别列出了三种基本变换器的一阶模型和精确模型的传递函数。

表2-9 CPM型Buck变换器的传递函数

表2-10 CPM型Boost变换器的传递函数

（续）

表2-11 CPM型Buck-Boost变换器的传递函数

（续）

表中各传递函数的意义为

上述两个表达式为闭环传递函数。

上述四个表达式是开环传递函数。

G_C0是峰值电流控制模型开关变换器等效功率级传递函数的直流增益；G_g0是闭环音频衰减率的直流增益；Q_C是引入电流反馈低通滤波器的品质因数；ω_C是引入电流反馈后等效的谐振频率。

需说明的是，一般引入峰值电流反馈后，三种变换器等效功率级传递函数和音频衰减率为一个含有两个极点的低Q值二阶系统，其传递函数的近似表达式为

其中，ω_p1≈ω_CQ_C，ω_p2≈ω_C/Q_C。

考虑反馈时的精确模型推导如下：

在图2-56a中LCR网络的阻抗为

输出阻抗为

由式（2-127）可推导出控制-输出的传递函数为

可见，上式与式（2-109）相同，这是另一种推导方法。

根据式（2-124）～式（2-126），可将图2-56a改画成如图2-57所示的CCM-CPM型Buck变换器控制系统框图。

如图2-57所示的电压回路传递函数为

电压环的闭环传递函数为

电流回路传递函数为

图2-57 CCM-CPM型Buck变换器控制系统框图

电流环的闭环传递函数为

当式（2-132）中的T_i（s）＞＞1时，有

说明：电流环路增益T_i（s）很大时，可忽略电感电流纹波和人工斜坡补偿电流的影响，这是一阶近似模型的假设条件。

电流控制-输出的传递函数为

比较式（2-93）和式（2-134）可看出，精确模型中电流控制-输出的传递函数为一阶近似模型所对应的传递函数Z_o（s）乘上一个修正系数k=T_i/（1+T_i），当T_i＞＞1时，k≈1，式（2-134）与式（2-93）相同。

对于Buck变换器，查表2-8可解得

式中各参数为

对于运行于CCM Buck变换器，2L/RT_s＞D′；电流控制器稳定运行条件是满足∣α∣＜1。式（2-135）表明，电流回路传递函数有一个零点和两个共轭极点，且ω_z＜ω₀。

在高频段，式（2-135）可近似为

由于在穿越频率处‖T_i（s）‖=1，则有

所以穿越频率为

将各已知量代入式（2-141），可得到在高频段上，电流回路传递函数近似为

所以在高频段的闭环传递函数为

在中频段和低频段，因T_i（s）＞＞1，所以有

根据上述各频段分析结果，可大致画出电流控制的闭环传递函数幅频特性如图2-58所示。

将式（2-125）、式（2-146）代入式（2-134），可得到电流控制-输出的传递函数为

图2-58 电流控制闭环传递函数幅频特性

比较式（2-93）和式（2-148）可知，采用精确模型推导得出的电流控制-输出的传递函数比一阶近似模型多一个极点，这也印证了原功率级的传递函数有两个低频的双重谐振极点，而引入峰值电流控制后，变为两个极点，并将其中一个极点移到了开关频率的附近。

以上用两种不同的推导方法得到的峰值电流控制的精确模型，他们的实质是一样的，读者可根据已知参数选用。

6.断续导电模式下的峰值电流控制

这里以断续电流模式下的Buck-Boost变换器为例，用开关网络平均模型法研究峰值电流控制模式的等效电路及其特性。所谓开关网络平均模型法是将变换器中的所有开关器件作为一个整体，将其视为一个二端口网络作为研究对象，通过分析端口变量间的关系建立由受控源构成的等效电路。DCM-CPM型Buck-Boost变换器如图2-59所示，图2-60为电感电流和电压波形以及其各量之间的关系。

图2-59 DCM-CPM型Buck-Boost变换器

图2-60 电感电流和电压波形

由图2-60可见，电感电流上升斜率为

电感电流峰值为

i_pk=m₁^d₁T_s （2-150）

控制电流的最大值为

i_c=i_pk+m_ad₁T_s=（m₁+m_a）d₁T_s （2-151）

由式（2-151）可得占空比为

开关网络各端口变量波形如图2-61所示。当变换器满足低频假设与小纹波假设时，输入电压与输出电压的平均值＜u_g（t）＞_T_s和＜u（t）＞_T_s在一个开关周期内近似恒定，并利用这两个平均值表示其他变量。根据如图2-61所示，各端口变量的平均值为

图2-61 开关网络各端口变量波形

为了消除未知变量d₂（t），利用电感的伏秒平衡特性，并根据如图2-60所示的电感电压波形可得到

d₁＜u_g（t）＞_T_s+d₂＜u（t）＞_T_s=0（2-157）

则

将式（2-158）代入式（2-153）～式（2-156），得到

＜u₁（t）＞T_s=＜u_g（t）＞T_s （2-159）

＜u₂（t）＞T_s=-＜u（t）＞T_s （2-160）

在式（2-159）～式（2-162）四个端口变量中，选择＜u₁（t）＞T_s和＜u₂（t）＞T_s作为独立变量，选择＜i₁（t）＞T_s和＜i₂（t）＞T_s作为非独立变量是合理的，则非独立变量可以用独立变量加以表示，如式（2-161）、式（2-162）所示。

由于输入电流在一个开关周期的平均值为

将式（2-149）、式（2-152）代入式（2-163），则输入电流为

平均开关网络的输入功率为

在（0，d₁T_s）阶段，功率开关管导通将电源的能量传递并存储于电感中，其值为

根据图2-61，同理可得输出电流在一个开关周期的平均值为

将式（2-159）和式（2-160）代入式（2-158），可得到二端口开关网络的电压与占空比之间有如下关系

将式（2-168）代入式（2-167）可得

将式（2-163）代入式（2-169）可得

由此可见，二端口平均开关网络在传递能量时服从功率守恒原则，传递的功率为

在（d₁T_s，T_s）阶段，二极管导通将存储于电感中的能量输出至负载。现分别用电压控制的受控电流源表示输入和输出端口，则输入端口的受控电流源为

输出端口的受控电流源为

图2-62 DCM-CPM型Buck-Boost变换器的平均模型

所以，DCM-CPM型Buck-Boost变换器可用如图2-62所示的平均模型表示。图中，功率开管关和二极管分别由电压控制的受控电流源代替。

为了解得稳态模型，将图2-62中的电感L短路，电容C开路，便可得到如图2-63所示的DCM-CPM型Buck-Boost变换器的稳态等效模型。

根据式（2-172），稳态时的功率为

式中，I_c为控制电流i_c（t）的稳态值。由于存在P=U²/R，则稳态输出电压为

用开关网络平均模型法同样可推导其他的DCM-CPM型DC-DC变换器的平均模型，Buck和Boost变换器的平均模型分别如图2-64和图2-65所示。参考文献[33]给出了三种基本变换器的稳态特性参数，为了方便读者查阅，现将三种基本变换器的稳态特性参数列于表2-12。表中，P为平均开关网络传递的稳态功率，P_load为消耗在负载上的功率，M为变换器的稳态电压比，M=U/U_g。

图2-63 稳态等效模型

图2-64 DCM-CPM型Buck变换器的平均模型

图2-65 DCM-CPM型Boost变换器的平均模型

电流I_crit为变换器工作在CCM与DCM边界时的临界负载电流，因此，DC_- DC变换器工作方式的判断式为

表2-12 DCM-CPM型基本变换器的稳态特性参数

由表2-12可见，采用峰值电流控制的Boost和Buck-Boost变换器工作在DCM下，即使m_a=0，变换器总是稳定的。这是因为，在DCM下，变换器的电感电流在一个周期的起始和终止点均等于零。但Buck变换器工作在DCM下，当m_a=0，在M＞2/3时，会出现低频振荡，其原因是峰值电流控制的Buck变换器的直流输出特性为非线性，即