图3-16　一阶RL电路的零输入响应

另一种典型的一阶电路是RL电路如图3-16（a）所示，设在t＜0时，开关S闭合。这时电感L由电流源IS供电，直至时电路处于稳态。设在t=0时，开关S迅速断开，电路进入过渡过程。这时，电流源IS失去作用，但换路前电感已储存有初始储能，当t＞0后，电感将通过电阻R放电，直至=0电路进入新的稳态。在这一过程中，RL电路中的电压和电流都是由电感元件的初始储能产生的，所以为零输入响应。

其零输入响应可作如下数学分析。

由于，在换路瞬间，电感电流不能跃变，由换路定律可得初始条件当t=0时刻，开关S断开时，其电路如图3-16（b）所示。根据KVL 及电阻、电感的VAR可得

整理可得

式（3.27）是一阶线性常微分齐次方程。其通解形式为

式（3.28）k为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式（3.27）对应的特征方程的根。将式（3.28）代入到式（3.27）可得特征方程为

解之特征根为

故得式（3.27）一阶线性常微分齐次方程的通解为

将初始条件代入式（3.29），求得待定的积分常数

最后得到满足初始值的一阶线性常微分齐次方程的解为

电路中的电压为

若同样令τ=，它是RL电路的时间常数，也具有时间的量纲，同样式（3.30）和式（3.31）可改写为

它们对应的变化波形如图3-17（a）和图3-17（b）所示。

图3-17　一阶RL电路的零输入响应 iL、uL、uR的波形

由图3-17可知，在换路后，一阶RL电路中的电压和电流也都是分别由各自的初始值随时间t的增大按相同的指数规律衰减变化，当t→∞时衰减到零，达到稳定状态。衰减快慢取决于时间常数τ 的大小，这与一阶RC电路零输入响应情况相同。但这里应注意，R越大，τ 越小，衰减越快，而RC电路则相反，R越大，τ 越大，衰减越慢。

从以上求得的一阶RC和RL电路的零输入响应进一步分析可知，对于一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且电路中其他电压和电流的零输入响应，都是从其初始值按指数规律衰减变化到零的。且同一电路中的时间常数τ 相同。

例3.8 图示3-18（a）电路中，设开关S在t=0时断开，断开前电路已处于稳态，求t≥0时的uC、uR和i。

图3-18　例3.8电路

解：由于t=0-时电路处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路，所以

由换路定律，可得换路后瞬间时电容电压的初始值为(www.daowen.com)

图3-18（b）是t=0+时的等效电路，可得

图3-18（c）是换路后的等效电路，换路后电容两端看进去的等效电阻

故得电路时间常数为

因此，得

由例3.8可得出：若用表示一阶电路中的零输入响应，用表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示

因此可总结一阶电路的零输入响应的求法归纳为以下步骤：

①首先求出换路前电容电压uC（0-）和电感电流iL（0-），利用换路定律求出换路后瞬间电容电压和电感电流的初始值uC（0+）和iL（0+）。

② 画出换路后t=0+时的等效电路，利用K VL、KCL、欧姆定律和元件的VAR求出所求电压或电流f（t）的初始值f（0+）。

③画出换路后t≥0时的等效电路，求出电容或电感两端看进去的等效电阻RO，确定出时间常数τ=ROC或τ=L/RO。

④ 利用式（3.34）写出一阶电路的零输入响应的表达式。

例3.9 图示3-19（a）电路中，设开关S在t=0时断开，断开前电路已处于稳态，已知US=12 V、R1=2 Ω、R2=3 Ω、R3=6 Ω、L=0.9 H 。求t≥0时的uL、uR和iL。

图3-19　例3.9电路

解：①首先求出换路前电感电流。由于换路前电路处于稳态，电感相当于短路，故得

由换路定律可得换路后瞬间电感电流的初始值为

② 画出换路后t=0+时的等效电路如图3-19（b）所示，利用KVL、KCL、欧姆定律和元件的VAR，可得

③画出换路后t≥0时的等效电路如图3-19（c）所示，则电感两端看进去的等效电阻

则时间常数

④ 将uR（0+）、uL（0+）、iL（0+）和τ 代入式（3.34），得