1. 圆锥体截切的基本形式

截平面与圆锥体轴线的相对位置有五种关系，因此其截交线有五种基本形状，被截切圆锥体有五种基本形式，如表5-2所示。一般情况用θ表示截平面与圆锥体轴线间的夹角，正圆锥体的半顶角用α表示。

表5-2　圆锥体截切的基本形式

2. 圆锥体截切的投影图

【例5-6】 如图5-9（a）所示，圆锥体被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。

分析：由条件可知，截交线的水平投影是双曲线和直线，而在侧面的投影积聚为一条直线。其双曲线、直线均为待求的投影。

图5-9　被截圆锥体的投影

（a）已知条件；（b）求截交线的投影；（c）整理后的结果

作图步骤：

（1）画出圆锥体完整的水平投影（即等腰三角形）和侧面投影（即圆）。

（2）求出特殊点a′、b′、（c′）的水平和侧面投影。分别过点a′、b′、（c′）作水平线分别与垂直中心线、圆相交，所得交点a″、b″、c″即为截交线特殊点侧面投影；根据点的投影规律求出其水平投影a、b、c，如图5-9（b）所示。

（3）求一般点d′、（e′）的水平和侧面投影。采用辅助平面法求解，过点d′作铅垂线与圆锥体转向轮廓线相交于点1′，再过点1′作水平线与侧面投影的垂直中心线相交即为1″，画以圆锥体顶点的侧面投影为圆心，过点1″的圆，并与截交线的侧面投影b″c″相交于两点即为一般点的侧面投影d″点和e″点；根据点的投影规律求出其水平投影d、e，如图5-9（b）所示。

（4）依次光滑连接a、b、c、d、e便得到双曲线的水平投影。

（5）整理各转向轮廓线投影，判别可见性。

（6）检查、校核，擦去辅助线及多余的图线，按图线加深、加粗，完成被截圆锥体的投影图，如图5-9（c）所示。

【例5-7】 如图5-10（a）所示，圆锥体被正垂面截切，已知被截圆锥体的主视图，求其俯视图、左视图。

分析：由条件可知，圆锥体被正垂面所截，截交线的水平投影和侧面投影均为抛物线和直线。由主视图可知，点A、B为截交线水平投影（抛物线）的最前、最后点；直线AB为截交线水平投影最左线，点C为最右点即抛物线顶点。根据点的投影规律求出截交线的侧面投影。此例题采用平面辅助法求解。读者可用素线法自己进行分析。

作图步骤：

（1）先画出完整圆锥体的水平投影、侧面投影。

（2）求截交线的水平投影，如图5-11（b）所示。

1）求特殊点的水平投影。分别过点a′、（b′）作铅垂线与圆锥体底圆水平投影相交于a、b，过点c′作铅垂线与圆锥体底圆水平投影中心线相交于点c。

2）求一般位置点的水平投影。过d′作水平线与圆锥体右母线相交于点1′，过点1′作铅垂线交水平中心线于1，以顶点s为圆心，s1为半径画圆，然后过d′（e′）作铅垂线与刚画的圆相交于点d、e；同理可求点f′、（g′）的水平投影f′、g′。(www.daowen.com)

3）依次光滑连接同面相应各点即得截交线的水平投影。

（3）求截交线的侧面投影。根据点的投影规律即可求出各点的侧面投影a″、b″、c″、d″、e″、f″、g″，依次光滑连接相应点得到截交线的侧面投影，如图5-11（b）所示。

（4）整理各转向轮廓线投影，判别可见性。

（5）检查、校核，擦去辅助线及多余的图线，按图线加深、加粗，完成被截圆锥体主视图、左视图，如图5-10（c）所示。

图5-10　被截切圆锥体的投影

（a）已知条件；（b）求截交线的两面投影；（c）整理后的结果

【例5-8】 如图5-11（a）所示，已知被截圆锥体的正面投影，求其另两个投影。

图5-11　被多个平面截切圆锥体的投影

（a）已知条件；（b）求水平截切的投影；（c）求平行母线截切的投影；（d）整理后的结果图

分析：由条件可知，圆锥体被三个平面截切，三个截平面为垂直于圆锥轴线（即水平截面）、平行于轴线（这里是过轴线的侧平面）。因此，可根据有关特殊平面位置的投影特性进行分析与求解。水平截平面截交线为圆，倾斜于轴线且θ=α截平面截交线为抛物线，而平行于轴线的截平面，其截交线为三角形。画图时，可先求出单个截平面的截交线，再综合分析得出全图。

作图步骤：

（1）先画出完整圆锥体的三面投影。

（2）求出水平截切圆锥体的投影。由于截交线在水平面的投影反映实形，因此，过点a′作铅垂线与圆锥水平投影圆的水平中心线相交一点即为a，以圆锥顶点的水平投影为圆心，画出过点a的圆；过b′点作铅垂线与刚画出的圆相交两点即为b、c，再根据点的投影规律即可求出截交线侧面投影a″、b″、c″，如图5-11（b）所示。

（3）求出倾斜于轴线，且θ=α为截平面截切圆锥的投影。

1）求特殊点的投影。延长b′d′与圆锥转向轮廓线相交于点4′，过点4′作水平线与圆锥侧面投影垂直中心线相交于点4″即为抛物线顶点投影；由于点b′、（c′）是水平截切面与角θ=α截平面交线上的点，因此，点b′、（c′）既是圆周上的点，也是抛物线上的点；同理，点d′、（e′）是两个截平面上的点，过点d′作水平线与圆锥侧面投影的转向轮廓线相交两点即为d″、e″。

2）求一般点的投影。过点1′作水平线与圆锥转向轮廓线相交点3′，过点3′作铅垂线与圆锥水平投影圆的水平中心线相交于点3，以圆锥顶点的水平投影为圆心，画出过点3的圆，过点1′作铅垂线与刚画的圆交于点1、2；根据点的投影规律求出点1″、2″。

3）依次光滑连接同面各点投影即可得到抛物线的水平和侧面投影，如图5-11（c）所示。

（4）求出平行于轴线（这里是过轴线）截平面截切圆锥的投影。由于该截平面过轴线，因此，截交线的侧面投影为三角形，即圆锥项点的侧面投影和点d″、e″三点连接而成，如图5-11（c）所示。

（5）整理各转向轮廓线投影，判别可见性。

（6）检查、校核，擦去辅助线及多余的图线，按图线加深、加粗，完成被截圆锥体的投影图，如图5-11（d）所示。