为了统一起见，规定：空间点用大写字母A、B、C、D等表示；水平投影（H面）用相应的小写字母a、b、c、d等表示；正面投影（V面）用相应的小写字母加撇a′、b′、c′、d′表示；侧面投影（W面）用相应的小写字母加两撇a″、b″、c″、d″ 表示。

1. 空间点的三面投影体系中的投影

将空间点A［如图3-1（a）中的点A］置于三投影面体系中，并分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影a′、侧面投影a″，如图3-1（a）所示。将三面投影体系按规定展开后得到点A的投影图，如图3-1（b）所示。去掉投影边框，保留投影轴，得到点A的三面投影图，如图3-1（c）所示。

图3-1　点在三投影面体系中的投影

（a）点在三投影面体系中；（b）投影面展开后；（c）投影图（45°辅助线）

2. 点在三面投影体系中的投影规律

如图3-1（a）所示，投影线Aa⊥H面，Aa′⊥V面，故Aaaxa′构成的平面既垂直于V面又垂直于H面，因而垂直于它们的交线OX。而平面Aaax a′上的直线aax和axa′，所以OX⊥Aaaxa′ 平面内的任意直线，自然也垂直a ax和axa′。在H面旋转至与V面成同一平面时，此垂直关系也不变。投影图上的a、ax、a′ 三点共线，故a a′⊥OX。同理可证，投影图上的a′、az、a″ 三点共线，a′a″⊥OZ。

在这里值得注意的是：在三面体系展开的过程中，Y轴被一分为二。Y轴一方面随H面旋转到YH的位置，另一方面又随W面旋转到YW的位置，而且两者汇交于过点O的45°辅助线上，体现了aax= a″az，如图3-1（b）所示。

综上所述，可概括出点在三投影面体系中的投影规律：

（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。

（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即a ax= a″az，可以用圆弧或45°辅助线来反映该关系。

【例3-1】 已知如图3-2（a）中点A的正面投影a′ 和水平投影a，点B的正面投影b′和侧面投影b″，求A点的侧面投影a″和B点的水平投影b。

分析：可按照点的投影规律来作图。

图3-2　求作点的第三面投影

作图步骤：如图3-2（b）所示。

（1）过原点O作∠YHOYW的角平分线（即45°斜线）。

（2）求点A的侧面投影a″。过a作OYH的垂线与45°斜线相交后再向上拐作垂直于OYW的垂线，与a′ 作的OZ投影轴的垂线相交，其交点为所求的侧面投影a″。

（3）求点B的水平投影b。过b″作OYW的垂线与45°斜线相交后再向左拐作垂直于OYH的垂线，与b′作的OX投影轴的垂线相交，其交点为所求的水平投影b。

3. 点的三面投影与其直角坐标的关系

空间点的坐标等于该点到相应投影面间的距离，如图3-1（a）所示。空间点A的坐标（xA，yA，zA）与点A的投影（a′，a，a″）之间的关系如下：

（1）点A到W面的距离等于点A的xA坐标：az a′ ＝ay a ＝ a″A＝ xA。(www.daowen.com)

（2）点A到H面的距离等于点A的yA坐标：ax a＝az a″＝a′A＝ yA。

（3）点A到V面的距离等于点A的zA坐标：ax a′＝ay a″＝a A＝ zA。

用坐标来表达空间点的位置较方便，可写成A（xA，yA，zA）的形式。

由图3-1（b）可知，坐标xA和zA决定点的正面投影a′，坐标xA和yA决定点的水平投影a，坐标yA和zA决定点的水平投影a″，若用坐标表示，则为a（xA，yA，0），a′（xA，0，zA）， a″（0， yA，zA）。

因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反，已知一点的三个坐标，就可以求出该点的三面投影。

【例3-2】 已知点A的坐标（22，12，16），求作点A的三面投影。

分析：可按照点的投影与坐标的关系及点的投影规律作图。

作图步骤：

（1）画坐标轴，并由原点O在OX轴的左方取xA=22得点ax，如图3-3（a）所示。

（2）过ax作OX轴的垂线，自ax起沿YH方向量取12mm得点a，沿Z方向量取16mm得a′，如图3-3（b）所示。

（3）按点的投影规律作出a″，如图3-3（c）所示。

图3-3　由点的坐标画点的三面投影

4. 特殊位置点的投影

点在三面投影体系中的位置有如下几种情况：

（1）空间点。点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上，如图3-1（a）中的点A，称为一般位置点。

（2）投影面上的点。点的某一个坐标为零。投影特性为：其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上，如图3-4中的A、B两点。

（3）投影轴上的点。点的两个坐标为零。投影特性为：其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上，如图3-4中的C、D两点。

图3-4　特殊位置点的投影

（a）点在三投影面体系中；（b）投影面展开后

（4）与原点重合的点。点的三个坐标为零。投影特性为：三个投影都与原点重合。