通过对一般3D人脸模型进行变换从而适应一个特定的人脸。

1.对于特征点进行的变换

（1）全局变换 3D人脸模型上的任意一点P（X，Y，Z）以无穷小的欧拉角向其目标点P′（X′，Y′，Z′）作刚性运动，可以描述为

式中，θ_X、θ_Y和θ_Z是围绕3D轴X、Y和Z轴旋转的角度；S_X、S_Y和S_Z分别是比例因子；（T_X，T_Y，T_Z）^T是平移向量。全局变换即可以等价地看成是对这9个刚性运动参数的估计。进行垂直影射后，可以通过计算3D人脸模型到2D人脸中心的距离来得到平移向量。让P_l、P_r、P_c、P_m分别代表左眼中心点、右眼中心点、两眼的中点及人脸的嘴部的中心。而P_l′、P_r′、P_c′、P_m′是3D人脸模型中2D投影的相关特征。所以，比例因子S_X和S_Y进行了如下的定义：S_X=‖P_l-P_r‖/‖P_l′-P_r′‖，而S_Y=‖P_c-P_m‖/‖P_c′-P_m′‖。在平面帧中，脸的深度是不可见的，为了保证自动性，S_Z将应用线性膨胀性取S_X和S_Y的平均值。头部的倾斜角度θ_Z可以通过测量线段P_lP_r和2D水平轴之间的角度来获得。应用基于横截面的方法来获得θ_Y。至于θ_X，由于缺少深度信息，所以假设头部与X轴是平行的，即θ_X=0。

图7-24 Candied人脸模型

（2）局部变换 四个脸部特征，如本系统中的眉毛、下巴、眼睛和嘴，将分别得到变换（见图7-24）。8个眉毛节点（黑色圆点）用来代替提取出的8个眉毛特征点。在下巴替换中，3D人脸模型的5个下巴节点（黑色圆点）通过伸缩运动与提取出的2D下巴轮廓相吻合。通过对人体测量学和肌肉运动的研究，中间的三个圆点是与上面的两个方形节点相连的，而另外两个圆点也和对角的方形节点相连。嘴部变换包括仿射变换（Affine Transformation）和轮廓变换。所有的嘴部节点包括在一个矩形内，是通过2D仿射变换得到的，这需要计算已经提取的平面嘴部和2D嘴部对于3D人脸模型投射之间的差别，其中投射是在平移、比例和旋转三方面进行的，然而仿射变换不能保证嘴部轮廓的匹配。为了上半嘴唇的自然形状，所有轮廓上的节点需要通过一个常数变换成提取的2D轮廓，该参数是通过估计平面人脸上半嘴唇外部轮廓线中间点和投射到3D人脸模型的2D中相应点之间的距离得到的。眼部变换的原则与嘴部变换的原则一致。对人脸模型处于两个椭圆中的眼部各节点进行仿射变换，然后根据已经提取的眼部轮廓来调整人脸模型的眼皮。然而，眼睛必须作为两个独立的物体来处理，即用两组独立的参数集合。另外，这里应用了线性插值来调试这些非边界节点。

2.对于非特征点进行的变换

在完成对特征点的三维坐标调整之后，模型调整即为确定非特征点的位置。利用适当的插值算法计算非特征点的三维坐标。非特征点调整可采用的方法有自由变形、径向基函数内插、弹性匹配等。其中，自由变形算法较为复杂，径向基函数内插具有良好的平滑性，但需注意保证内插平稳性。(www.daowen.com)

下面介绍利用径向基插值算法计算非特征点的三维坐标。即已知特征点x_i的位移f_i为

s|x_i|=f|x_i| （i=1，2，…，N） （7-2）

求径向基内插函数

式中，s称为径向基函数（RBF）；自变量x为对应网格顶点的三维坐标，因变量为此点的位移量；p为低阶多项式；λ_i为RBF的系数，即网格调整需要确定的模型参数；φ（）为一个实函数，称作基函数。x_i是RBF中心，一般为与模型特征点对应的空间坐标。令低阶多项式p的基为p={p₁，…，p_l}，对应的系数为c={c₁，…，c_l}，则式（7-3）以矩阵形式表示为

式中，A=[A_ij]，A_ij=φ（‖x_i-x_j‖）；P_ij=P_j（x_i）；i，j=1，2，…，N。

由此线性方程可解得λ、c，从而确定了模型所有网格点的内插函数s（x）。对于径向基函数的选取，在试验中，选取了高斯函数，α取为1/64，即