1.数据分析

紧缩膨胀感与色彩的色相、亮度有较大关联，尤其是明度。为明确它们之间的关联程度，按照改进后的HSV量化方法对照表3.7a、b所示的数据进行了图形描述，如图6-35所示。其中图6-35a为膨胀感随h值变化关系，图6-35b为膨胀感随v值变化关系。

图6-35a中，由上到下曲线的顺序分别为：红、绿、蓝。由此可得到结论，色彩给予人的膨胀紧缩感的确是随着色彩的冷暖变化而变化的。图6-35b是在图6-35a的基础上，选用了其中h=240的蓝色进行更加细微的v值变化，从而得到更加贴近人心理的变化曲线。此图不仅展现出膨胀紧缩感是随v值成正比例变化的，还可以看出，当v值在中间值附近变化时，由于人体的色觉敏感度问题导致测试者对色块展现的紧缩膨胀效应并无较大的区别感；当v值脱离中间区域朝100%或0%变化时，色块的膨胀紧缩效应对测试者相应产生了较大的影响；而当v值接近100%，即颜色越来越趋近于黑色时，人体的色觉敏感度下降，导致测试者对色块展现的紧缩膨胀效应再次呈现区别感降低的现象。

图6-35 膨胀紧缩感与色相（h）、亮度（v）的关系

a）膨胀感随h值变化关系 b）膨胀感随v值变化关系

2.使用人工神经网络方式建模

在观察和数据收集的基础上，本节首先尝试了使用人工神经网络算法进行紧缩膨胀感的色彩心理建模。网络结构为三层神经网络，隐层节点数为6，输入层到隐层和隐层到输出层的激励函数分别为正切Sigmoid传递函数（Tansig）和纯线性传递函数（Purelin）。其中正切Sigmoid传递函数如式（6-44）所示，纯线性传递函数为将输入值按原值输出。

以色彩的v值作为人工神经网络的输入、膨胀感评价值作为网络输出，进行网络训练。训练后网络对原样本的仿真结果和仿真过程误差控制曲线如图6-36所示。图6-36a中，“■”为仿真得到的数值，“--”（虚线）为实际输出值。

图6-36 人工神经网络算法训练结果和误差控制曲线

a）算法训练结果 b）误差控制曲线

从图中可看出，此人工神经网络经训练后，对样本的仿真值与实际值基本吻合，误差能够控制在10^-14级上。在此基础上，对训练后的网络进行样本之外的预测实验。仿真结果如图6-37中带有节点的虚线所示。

非样本的预测结果也是较令人满意的，其最大误差值如图所示小于0.02。因此，可得出结论：使用人工神经网络搭建的基于紧缩膨胀感的色彩心理数学模型，能够基本模拟人因为色彩变换而产生空间大小变换的感觉。

图6-37 预测值与实际值的比较

3.使用曲线拟合方法建模

在实验研究和实际应用中，经常要把离散的测量数据转化为便于研究的曲线方程，即曲线拟合。它是一种来源于实际，又广泛应用于实际的重要方法。随着计算机计算水平的不断提高，此应用已在国民生产和科学研究中扮演着越来越重要的角色。

正交基函数因为涵盖了幂函数、切比雪夫多项式、多元正交函数系列等，而常被采用为拟合函数。如在曲线拟合中最常见的二次曲线，就采用二元正交基函数系列：1、x、y、x²、y²、xy、…进行拟合。最小二乘法在确定各拟合函数的系数时，尽管拟合的幂数不是很高，但它可使误差较大的测量点对拟合曲线的精度影响较小，而且实现简单，便于物理分析和研究，故成为最常用的方法之一。

对m元正交基函数，其拟合函数的形式为

式中，g_j为由m个自变量构成的一个正交基函数。如m=3，对应函数系列为1、x₁、x₂、x₃、x²₁、x²₂、x²₃、x₁x₂、…、x₁x₂x₃、…；a_j是待求的系数。

令在n次测量中第i次的测量值为（x_1i，x_2i，…，x_mi，y_i），则测量误差为

为便于表达，令

g_ji=g_j（x_1i，x_2i，…，x_mi） （6-47）(www.daowen.com)

这样，用最小二乘法可建立误差的目标函数

对式（6-48）取最小值的必要条件是其一阶偏导数等于零，即

可整理为

进一步可把式（6-49）写为矩阵形式

Sa=T （6-52）

式中，S为1阶对称方阵；a、T分别为含有1个元素的列向量。

根据上述步骤，便可求出离散测量数据对应的拟合曲线方程。在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行。

多项式函数拟合：a=polyfit（xdata，ydata，n）；

其中，n表示多项式的最高阶数；xdata、ydata为将要拟合的数据，它是用数组的方式输入。输出参数a为拟合多项式y=a₁xⁿ+L+a_nx+a_n+1的系数a=[a₁，L，a_n，a_n+1]。

本次实验中采集得到的离散测量数据如下：

xdata={10 8.8 6.5 6.5 5 3.8 2.5 1.3}

ydata={0.97 0.94 0.825 0.72 0.69 0.585 0.48 0.395}

多项式的最高阶数选定是需要一定的经验的，太小，则误差过大；太大，虽然误差较小，但在程序运行时会带来运算负担过重等问题。通过不断尝试的方式，得到多项式最高阶数的最佳值为7。经MATLAB计算得到

a=[0.0001，-0.0031，0.0504，-0.4260，2.0131，-5.2642，6.0355，-3.2336]

从而获得与离散测量数据对应的拟合曲线方程为

y=0.0001x⁷-0.0031x⁶+0.0504x⁵-0.4260x⁴+2.0131x³-5.2642x²+7.0355x-3.2336 （6-53）

由此方程得到的拟合曲线与原离散测量数据点的比较效果如图6-38所示。

4.方案的选择与分析

比较由神经网络算法得到的预测效果图与拟合得到的拟合曲线效果图，不难发现拟合得到的曲线更为贴近原始的离散测量数据。另外，从算法速度和效率上来考虑，神经网络算法每次学习得到的网络模型都是不同的，因而在网络误差和预测效果上也是不确定的，网络的学习与仿真预测也是需要一定的训练时间的，另外就是在算法程序的编写上需要至少涉及2或3个for循环，时间复杂度较大；曲线拟合方式得到的是一个误差较小，并且是固定的曲线函数，因而在预测效果和计算误差上是可预测、固定的，同时在程序编写与运行时，只需要按照事先算好的曲线函数编写、计算，只占用一条语句，因而在程序的时间复杂度上节省了很多，相应的运行时间也会大大减少。

图6-38 膨胀感与v值变化关系曲线拟合效果

基于以上的对比分析，可以得出结论：对于本次设计中使用的网络平台系统，曲线拟合方式比较适合作为后台的实时智能算法。这是就应用的系统平台所言，但若是从进一步的研究拓展性而言，还是人工神经网络算法比较合适，因为其他色彩心理效应模型的性质还不确定，而人工神经网络算法在对于不确定事物关系的描述上是有一定优势的。