Hopfield神经网络是一种神经动力学系统，具有稳定的平衡状态，即存在着吸引子，因而Hopfield神经网络具有联想记忆功能。将Hopfield神经网络作为联想记忆网络需要设计或训练网络的权值，使吸引子存储记忆模式。比如，现在欲存储m个n维记忆模式，那么就要设计网络的权值使这个m个模式正好是网络能量函数的m个极小值。常用的设计或学习算法有：外积法（Outer Product Method）、投影学习法（Projection Learning Method）、违逆法（Pseudo Inverse Method）及特征结构法（Eigen Structure Method）等。

设网络有N个神经元，每个神经元均取1或-1两个值，则网络共有2^N个状态，这2^N个状态构成离散状态空间。设在网络中m个n维记忆模式为

采用外积法设计网络的权值，使这种m个模式是网络2^N个状态空间中的m个稳定状态，即

式中的1/N作为调节比例的常量，这里取N=n。考虑到离散Hopfield神经网络的权值满足如下条件：w_ij=w_ji；w_i=0，则有

将式（2-7）用矩阵形式表示，则有

式中，I为n×n单位矩阵。

以上是离散Hopfield神经网络的存储记忆过程，下面再看其联想回忆过程。从所记忆的m个模式中任选设一模式U_l，经过编码可使其元素取值1和-1。设离散Hopfield神经网络中神经元的偏差均为零。将模式U_l加到该离散Hopfield神经网络，假定记忆模式向量彼此是正交的（这个是特例，容易检验），则网络的状态为

状态的演化为sgn=（WU_l）=sgn（（n-m）U_l）=U_l，可见网络稳定在模式U_l。

例如，对于两个记忆模式（1，-1，1）和（-1，1，-1）（这是一个记忆模式向量非正交的例子），按式（2-7）设计网络权值为

可见该权值满足离散Hopfield网络的的条件。现将（1，-1，1）作为网络的输入，则有

可见状态（1，-1，1）为网络的稳定状态，即网络记住了该状态。同样，对状态向量（-1，1，-1）而言，有

可见状态（-1，1，-1）也是网络的稳定状态，即网络也记住了该状态。

Hopfield神经网络的运行步骤：

第一步：设定记忆模式。将欲存储的模式进行编码，得到权值为1和-1的记忆模式为

第二步：设计网络的权值。(www.daowen.com)

式中，w_ij是神经元j到i突触权值，一旦计算完毕，突触权值将保持不变。

第三步：初始化网络状态。将欲识别模式U′=[u′₁，u′₂，…，u′_i，…，u′_n]^T设为网络状态的初始状态，即v_i（0）=u′_i，v_i（0）是网络中任意神经元i在t=0时刻的状态。

第四步：迭代收敛。根据公式

随机地更新某一神经元的状态，反复迭代直至网络中所有神经元的状态不变为止，假设此时的t=T。

第五步：网络输出。这时的网络状态（稳定状态）即为网络的输出y=v_i（T）。

以上的第一步和第二步是神经网络记忆过程，第三步至第五步所组成的迭代过程是神经网络的联想过程。

对于以上所介绍的Hopfield神经网络，需要做几点说明：

1）以上所介绍的Hopfield神经网络的激励函数为符号函数，即神经元的状态取1和-1的情况。对于神经网络的激励函数为阶跃函数，即神经元的状态取1和0时，相应的公式有所变化。设在网络中存储m个n维的记忆模式（m＜n）：

U_k=[u^k₁，u₂^k，…，u_j^k，…，u^k_n]^T

（k=1，2，…，m；i=1，2，…，n；u^k_i∈{0，1}） （2-11）

对u^k_i∈{-1，1}的情况，前面已经讨论过了，而当u^k_i∈{0，1}时，可以进行一个变换，即使得（2u^k_i-1）∈{-1，1}，所以用（2u^k_i-1）代换前面公式中的u^k_i即可。

2）Hopfield神经网络的记忆容量就是在一定的联想出错概率容限下，网络中存储互不干扰样本的最大数目。记忆容量∂反映所记忆的模式m和神经元数目N之间的关系：∂=m/N。记忆m个模式所需的神经元数N=m/∂，连接权值数目为（m/∂）²，若∂增加一倍，连接权值数目将为原来的1/4，这是一对矛盾，在技术实现上也是很困难的。实验和理论研究表明，Hopfield神经网络记忆容量的上限为0.15N。

3）Hopfield神经网络存在伪状态（Spurious State），伪状态是指除记忆状态之外网络多余的稳定状态。从以上对Hopfield神经网络的分析可见，要构成一个对所有输入模式都很合适的Hopfield神经网络是很不容易的，需要满足的条件是很苛刻的。所记忆的模式m过大，权值矩阵W中会存在若干个相同的特征值；所记忆的模式m小于神经元的数目N，权值矩阵W中会存在若干个0，构成所谓的零空间。因此，零空间存在于网络中，零空间是Hopfield神经网络的一个固有特性，即Hopfield神经网络不可避免地存在着伪状态。