（1）谐波脉冲荷载作用。冲击波对结构作用的击波荷载最大幅值为Pm，变化为谐波，即Pmsinωt，于是由第2章式（2-1）运动微分方程可表示为

假设忽略阻尼作用，则方程变为

上述方程的通解包括由下列形式的补解和精解构成。补解可写成：

式中常系数A和B 可用初始条件确定：

当t=0时

代入式（7-12）得

一般地说，式 （7-14）可用如下形式的解表示：

式中：R为振幅；θ为相位解。

方程式（7-11）的特解，即是由方程右端项动荷载所引起的解，由于简谐振动荷载的反应也可假定为简谐量，于是有

图7-2　无阻尼自由谐振

将式（7-18）代入方程式（7-11），经整理可得

因此振幅反应为

A和B 仍由初始条件确定：

正弦脉冲第一阶段式（7-22）给出的解答（t≤t1）为

图7-3　谐波脉冲压力波

由此得出：

其振幅由式（7-25）知，应为

将式（7-29）的右端代入上式后，振幅值为

当β＞1，t＞t1时的动力放大系数为

图7-4　阶跃脉冲压力波

由上述结果可见，动力反应最大值出现时间与β值即冲击荷载频率与结构频率比值有关。一般地，持续时间长一些的脉冲荷载，则最大反应出现在荷载作用时间内；如果持续时间短一些的脉冲荷载，则最大反应出现在自由振动阶段，即荷载作用时间之后；当，即为共振冲击荷载时，最大反应出现在脉冲荷载结束的瞬间。

（2）阶跃矩形脉冲。如图7-4所示的阶跃脉冲压力波，其结构动力反应仍分为荷载阶段和自由振动阶段。

第一阶段：结构刚度为k，静位移为us，则有

这时的一般动力反应解在0≤t＜t1内，由动力平衡方程求得为

第二阶段：在此阶段内，即在t＞t1时自由振动则为(www.daowen.com)

当t1≥T/2时，最大反应在第一阶段出现，这时动力放大系数由式（7-31）可得出为2.0；对于短持续时间的矩形脉冲，则最大反应在第二阶段出现，其反应幅值则为

于是动力放大系数为

动力放大系数随 而变化。

（3）三角形冲击波：爆炸或爆破产生的冲击波。

1）波阵面前沿陡峭，达到峰值后，按指数衰减，按三角形处理是一个很好的近似图7-5，荷载作用阶段，荷载超压时间关系为

2）有升压时间的三角形冲击波如图7-6所示，荷载时间关系为

图7-5　三角形脉冲压力波

图7-6　有升压时间的三角压力波

以图7-5为例，可知静挠度为

在零初始条件下，可算出一般解自由振动的常数，从而求得

动力反应的动力放大系数与荷载作用时间与结构自振周期的比值有关。三角形冲击荷载作用下的动力放大系数为

动力放大系数计算结果列于表7-1中。

如果把上述半正弦脉冲击波、矩形阶跃脉冲击波、三角形冲击波作用的单自由度结构动力位移放大器系数Kd与t1/T的关系绘成曲线 （见图7-7），就是冲击型波的位移反应谱。

表7-1　三角形冲击荷载作用下的动力放大系数计算结果表

根据单自由度体系位移与加速度关系=ω2u，并采用绝对最大加速度，则式 （7-40）可改写成：

因此，图7-7所示的冲击型波反应谱曲线，同样可用于求基底承受加速度脉冲时的最大加速度反应。

图7-7　冲击型波位移反应谱

例：承受冲击波荷载的单自由度建筑物，如图7-8所示，根据图中给定的数据，计算受P（t）作用，产生的弹性抗力Fmax是多少？

图7-8　承受冲击波荷载的单自由度建筑物简图

（a）结构；（b）冲击波

从图7-8可查出动力放大系数Kd=1.27，最大位移则可求出为：

产生的最大弹性抗力为：Fmax=kumax=6.25×105×2.032×10-3=1270kN

如果冲击波压力脉冲作用时间t1=0.005s（仅为上述1/10），则这时的脉冲时间长度比仅为0.0569，动力放大系数则仅为Kd=0.38，这时弹性抗力只有380kN，仅为上述的30%，可见，持续时间短的冲击波荷载产生的反应很小，结构中产生的应力也比长持续时间冲击波产生的动应力小很多。

从上述冲击型位移反应谱及类似的其他形式荷载的反应谱的研究中，可以得出冲击荷载作用下结构反应的两个一般性结论：

1）对于长作用时间t1的冲击荷载，如t1/T ＞1.0，动力放大系数依赖于荷载达到峰值的增长速度。具有足够长作用时的突加荷载，动力放大系数等于2.0，缓慢增加的荷载则动力放大系数等于1.0，实际上相当于静荷载的作用。这就说明长作用时间的动荷载，其动力系数介于1.0～2.0之间。

2）短作用时间的冲击波荷载，如t1/T ＜0.25，结构位移最大值umax主要依赖于冲量的大小，而脉冲形式的影响不大，但是动力放大系数Kd则与脉冲荷载形式关系较大，因为动力放大系数Kd与脉冲面积（冲量）对荷载峰值的比成正比关系。

应用这一结论，可以得到一个计算短作用时间冲击波荷载的结构最大反应的一个近似方法，即

k为结构刚度。