（1）平衡方程的建立。爆破地震或天然地震动地面加速度、速度、位移，无论用哪一个运动量，对地面的结构进行激励，必将引起结构振动。设单质点质量（m）—弹簧（k）系统支承在地面上，如图5-10所示，在地面产生的位移为xg（t），质点m产生振动，质点相对地面的位移为u（t），质点m产生的绝对位移则为

图5-10　地面位移激励单质点振动图示

相应的绝对加速度（t）、绝对速度（t）应分别为

根据动力平衡条件，写出运动平衡方程如下：

移项后有

方程的右端项即为激励力f（t），是由地面运动速度与位移构成的，式中m、c、k依次为质量、阻尼和弹簧刚度。

无阻尼自由振动方程，当f（t）=0时，且c=0时，式（5-81）变为

这就是第5.1节所述单质点体系的有阻尼自由振动方程。

（2）爆破地震动位移和速度激励单质点弹簧体系动力反应解。自由振动的方程与本章5.1.2节所述完全相同，其解答也一样，这里就不再赘述。

将方程式（5-81）变成标准形式，即用质量m除方程式（5-81）各项，则可写成：

式中

又可写为

通常在计算结构内力即动应力、应变等参数时，应采用结构相对位移，式（5-87）完整的表示应为

(www.daowen.com)

（3）爆破地震动速度和位移激励单质点系动力反应的反应谱法。在第5.1节已经介绍了由加速度激励求解的反应谱方法。众所周知，直接用爆破地震动速度、位移时程曲线输入式（5-88），用数值积分法求出其位移反应，问题同样可以解决，但通常计算爆破地震动作用时，只需求出最大反应，即最大位移时的作用荷载，再求出相应的内力反应，因此并不需要求振动响应的全过程。

假设式（5-88）的最大值为Δd，它应等于：

设单质点位移动力放大系数为βΔ，即

|xg（t）|max表示位移xg（t）的最大绝对振幅值。

地震动作用在质点上的惯性力等于质点质量乘以绝对加速度（取最大值），即

在不计阻尼力时，这个惯性力应等于单质点系的弹性抗力，弹性抗力为

k为弹簧刚度，且有k=mω2，同时用Δd表示相对位移的最大绝对值，式（5-93）变成：

由式（5-91）知Δd=βΔ|xg（t）|max，地震惯性力用地面运动位移表示，则为

前面已讲过阻尼为零时FI=Fs，并用F表示，故单质点系受到的地震动作用为

式中βΔ 可用位移反应谱确定。

在爆破地震动研究中，往往习惯采用振动速度作为控制标准。现推求以地面运动速度表示的作用荷载计算公式。为此，将式（5-88）对时间τ微分一次，可得相对振速为

地震动在单质点上的作用力等于弹性抗力，于是有

如果引入速度表示的单质点系动力放大系数βv，则式（5-99）可表示为

βv是以速度表示的动力放大系数，可用速度反应谱曲线确定，|（t）|max为爆破地震地面运动的速度绝对值的最大值。