在6.2节中曾指出，在压力容器优化设计中，常遇到多目标优化的设计问题，即同时要求几项设计指标达到最优值。其数学模型的一般表达式为

一般说来，在多目标的优化设计中，要使几个分目标同时达到最优值是难以实现的。因为在求极小化过程中，各分目标优化往往是互相矛盾的。这样，就要在各分目标函数的优化值间进行协调，以便取得一个总体优化效果最佳的可行设计方案。由于多目标函数的最优化问题较为复杂，求解难度也较大，因而尽管已有不少关于多目标函数的最优化方法，但有些方法的效果并不理想，需要进一步研究和完善。本节介绍下述几种多目标函数的最优化方法。

1.统一目标法

这种方法的基本思想是，人为地构成一种新的函数，将多目标优化问题转化

为求统一目标函数的单目标优化问题，即

在极小化统一目标函数f（X）的过程中，为了使各个分目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值，可采用如下一些方法：

（1）线性加权法 对多目标函数问题的各分目标函数按其重要程度，对应地给出加权因子ω_j，并且

再取f_j（X）与ω_j的线性组合为统一目标函数，即

然后求单目标问题的最优解X^*：

此解即为多目标规划的最终解答。

显然，该法的关键在于加权因子的选择。下面介绍几种确定加权因子的方法。

若已知分目标函数f_j（X）的变动范围为

α_j≤f_j（X）≤β_j（j=1，2，…，q）

为该指标的容限，于是可取该项指标的加权因子为

ω_j =1/[Δf_j（X）]² （6-25）

亦可先求出各分目标函数的最优值：

然后取其倒数作为该项指标的加权因子，即

另一种方法是把加权因子分为两部分，即

式中 ω_1j——反映第j项目标相对重要性的加权因子，称作本征权因子；(www.daowen.com)

ω_2j——第j项目标的校正权因子，用于调整各目标间在量级差别方面的影响，可由下式确定：

（2）平方加权法 对于多目标规划问题的单目标函数取定相应最优值的下界f_j⁰：

则令统一目标函数为

再求单目标函数问题的最优解X^*：

此解即为多目标规划的最终解答。

（3）乘除法 如果能将q个目标函数分为两类：一类属于费用类，如成本、质量、材料等，表现为目标函数值越小越好；另一类属于效果类，如产量、效率、利润等，表现为目标函数值越大越好。则在这种情况下，其统一目标函数可取为

然后，再求其最优解，即

此解即为原多目标规划问题的最终解答。上式中的s是q个目标函数中属于费用类的目标函数的总数。

2.主要目标法

主要目标法也称为分层序列法。其基本思想是将q个目标函数按重要程度排序，然后按下述步骤极小化各目标函数。

1）先对第一个目标函数极小化，得最优解：

2）在第一个目标函数的最优解集合域内进行第二个目标函数极小化，即

3）第k个目标函数极小化的数学模型为

4）如此进行，直到求出第q个目标函数的最优解X^*和f_q^*，即为原多目标问题在分层序列意义下的最优解。

使用主要目标法，当目标函数较多时，容易中断求优过程。这出现在前一目标函数最优解的集合域内后一目标函数无最优解的情况中。为此，可对目标函数最优值f*加上一宽容值ε_j＞0，即将约束条件g_j（X）改为

在机械优化设计中，使用这种方法并不困难。这是因为，对任何一项具体设计，总可以根据机械设计的基本要求，对各项设计目标作出正确的估计和判断，并按其重要程度进行排列，然后依次求出各目标函数的最优值，最终找出最合适的优化设计方案。