内点惩罚函数法仅适用于具有不等式约束的优化问题，根据下列的目标函数和约束条件函数：

构造新目标函数φ（X，r_k）的无约束优化问题：

式中 r_kP（X）——障碍项；

P（X）——依赖于g_u（X）的障碍函数；

r_k——惩罚因子，它满足：①r₀＞r₁＞r₂＞…；②。

P（X）的取法使得当设计点X在区域内部且离边界很远时，其值几乎为零，φ→f；而当X从内部靠近边界时，P（X）→∞。P（X）的作用相当于在原约束的边界上筑起一道屏障，防止设计点越出可行域，所以内点惩罚函数法又称障碍函数法。由前可知，最优解往往是在边界上，为了允许设计点逐渐接近边界，随k→∞，让r_k→0，使得对设计点靠近边界所受的惩罚逐渐减小。

最常见的惩罚函数P（X）及因子r_k的取法为

式中 t——给定常数。

内点惩罚函数法求约束优化问题的算法如下：

1）选取一个初始可行设计点X^（0）和适当的r₁及t，令k=1。

2）从X^（k-1）出发优化φ（X，r_k），记为X^*=X^（k）。

3）检查收敛准则：

如满足则停止；否则进行4）。

4）计算，返回2）。(www.daowen.com)

【例5-6】 利用内点惩罚函数法求解目标函数f（X）=x-1，约束条件为x≥0的最优解。

解 构造内点惩罚函数：

对于固定的r_k，φ（X，r_k）的极小点满足：

解得

为保证X^（k）的可行性，应取正根。显然，当k→∞时，r_k→0，X^（k）→0。事实上，X^*=0也就是原问题的最优解。图5-8为r_k=1、0.1和0.01时φ（X，r_k）的曲线。显然，φ所代表的曲线严格地在可行域（X≥0）内。

图5-8 例5-6解的几何表示

由上例可见，初始惩罚因子r₀的选择对内点法的计算效率影响很大。若r₀值选得太小，则在惩罚函数φ（X，r_k）中惩罚项的作用就会很小，极值点有可能跑出可行域；反之，则开始几次构造的φ（X，r_k）的无约束极值点就会远离约束边界，使计算效率降低。可取r₀≈1～5，一般取r₀=1。通常，当初始点X^（0）是一个严格的内点时，r₀可由下式确定：

若约束区域是非凸的且X（0）亦不靠近约束边界，则r₀可取上式算得值的0.1～0.5倍。

为避免当r₀取过大时计算效率降低现象的发生，可增加一个新的约束条件：

这样，式（5-19）和式（5-20）分别写成：

和