理论教育 如何用梯度法求函数f的极小值和极小点

如何用梯度法求函数f的极小值和极小点

时间:2023-06-17 理论教育 版权反馈
【摘要】:梯度法的迭代计算步骤如下:1)给定X∈E*,ε>0,置0k。试用梯度法求f=x21+5x22+6的极小点和极小值。第一次迭代计算:求h:图4-2 梯度法程序框图解得h=0.103则因为故需继续进行迭代计算。梯度法的优点是:简单;每次迭代工作量小,要求的存储量也小;对初始点要求不严格。

如何用梯度法求函数f的极小值和极小点

梯度法的迭代计算步骤如下:

1)给定X(0)E*ε>0,置0⇒k

2)计算ΔfXk)。

3)检验是否满足条件:|ΔfXk)|≤ε,若满足,迭代停止,X*=Xk;否则进行4)。

4)求hkE1,使其满足条件:

978-7-111-29617-1-Chapter04-6.jpg

5)978-7-111-29617-1-Chapter04-7.jpg返回进行2)。

梯度法的迭代过程如图4-2所示。

【例4-1】试用梯度法求fX)=x21+5x22+6的极小点和极小值。

解 设978-7-111-29617-1-Chapter04-8.jpgfX(0))=12,ε=0.01。

第一次迭代计算:

978-7-111-29617-1-Chapter04-9.jpg

h(0)

978-7-111-29617-1-Chapter04-10.jpg

978-7-111-29617-1-Chapter04-11.jpg

图4-2 梯度法程序框图

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解得h(0)=0.103

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因为 978-7-111-29617-1-Chapter04-14.jpg

故需继续进行迭代计算。

第二次迭代计算:

第二次迭代计算后得到:

978-7-111-29617-1-Chapter04-15.jpg

因为 978-7-111-29617-1-Chapter04-16.jpg

所以最后结果为(www.daowen.com)

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fX*)=fX(2))=6

【例4-2】 用梯度法求目标函数fX)=x21+25x22的最优解。初始点取为X(0)=[2,2]T,迭代精度ε=0.005。

解 函数的梯度

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第一次迭代:

因为

fX(0))=104

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故沿X(0)点的负梯度方向作一维搜索

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fh)=(2-4h)2+25(2-100h)2

f′h)=0,求得一维搜索的最优步长h(0)=0.02003072,得迭代点、函数值及梯度值为

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以下各次迭代过程同上,计算结果列于表4-1中。

表4-1 各次迭代计算结果

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(续)

978-7-111-29617-1-Chapter04-23.jpg

经过第五次迭代后,得ΔfX(5))=0.0049<ε=0.005,得最优解为

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fX*)=0.000006

本题的搜索图形如图4-3所示。

梯度法的优点是:简单;每次迭代工作量小,要求的存储量也小;对初始点要求不严格。缺点是:在极小点附近收敛慢;其收敛快慢受变量尺度影响较大;它对小扰动不太稳定。

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图4-3 例4-2的梯度法搜索图形

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