【摘要】:梯度法的迭代计算步骤如下:1)给定X∈E*,ε>0,置0k。试用梯度法求f=x21+5x22+6的极小点和极小值。第一次迭代计算:求h:图4-2 梯度法程序框图解得h=0.103则因为故需继续进行迭代计算。梯度法的优点是:简单;每次迭代工作量小,要求的存储量也小;对初始点要求不严格。
梯度法的迭代计算步骤如下:
1)给定X(0)∈E*,ε>0,置0⇒k。
2)计算Δf(X(k))。
3)检验是否满足条件:|Δf(X(k))|≤ε,若满足,迭代停止,X*=X(k);否则进行4)。
4)求h(k)∈E1,使其满足条件:
5)返回进行2)。
梯度法的迭代过程如图4-2所示。
【例4-1】试用梯度法求f(X)=x21+5x22+6的极小点和极小值。
解 设,f(X(0))=12,ε=0.01。
第一次迭代计算:
求h(0):
图4-2 梯度法程序框图
解得h(0)=0.103
则
因为
故需继续进行迭代计算。
第二次迭代计算:
第二次迭代计算后得到:
因为
所以最后结果为(www.daowen.com)
f(X*)=f(X(2))=6
【例4-2】 用梯度法求目标函数f(X)=x21+25x22的最优解。初始点取为X(0)=[2,2]T,迭代精度ε=0.005。
解 函数的梯度
第一次迭代:
因为
f(X(0))=104
故沿X(0)点的负梯度方向作一维搜索
设 f(h)=(2-4h)2+25(2-100h)2
令f′(h)=0,求得一维搜索的最优步长h(0)=0.02003072,得迭代点、函数值及梯度值为
以下各次迭代过程同上,计算结果列于表4-1中。
表4-1 各次迭代计算结果
(续)
经过第五次迭代后,得Δf(X(5))=0.0049<ε=0.005,得最优解为
f(X*)=0.000006
本题的搜索图形如图4-3所示。
梯度法的优点是:简单;每次迭代工作量小,要求的存储量也小;对初始点要求不严格。缺点是:在极小点附近收敛慢;其收敛快慢受变量尺度影响较大;它对小扰动不太稳定。
图4-3 例4-2的梯度法搜索图形
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