由2.3节知,无约束问题最优解的一阶必要条件是目标函数梯度在X*点处为零向量,充分条件是f(X)在X*点处的海赛矩阵为正定矩阵。而约束问题最优解的一阶必要条件是拉格朗日函数L(X,λ)在X*点处的梯度为零向量。据此是否可以推测,L(X,λ)在X*点处的海赛矩阵Δ2L(X*,λ)为正定矩阵才能保证X*是约束问题的最优点?
容易验证,上述条件是过强了。事实上,对于约束优化问题,变量X完全被限制于由约束函数所构成的可行域内,因而解X*的极小性质也是在这个范围内而言的。所以,并没有理由一定要L(X*,λ)在X*处沿所有方向的二阶方向导数取正值,而应当仅要求它在X*处沿起作用约束函数的方向τ上的二阶方向导数取正值。这里τ与约束函数梯度Δgu(X*)垂直,即<τ,Δgi(X*)>=0。
上述方向τ组成一维空间
综上所述,可建立约束优化问题解的二阶充分条件如下:
设函数f(X)和约束函数gi(X)(i∈p∪q)具有连续的二阶偏导数,若存在着X*∈En满足下列条件:
1)K-T条件成立,即存在着乘子向量λ*=(λ1*,λ2*,…,λ*p+q)T,使得
且当i∈p时,λi*和gi(X*)不同时为零。
2)对子空间M={τ|<τ,Δgi(X*)>=0,i∈m,m是X*处的有效集}中的任意非零向量τ都有:
<τ,Δ2L(X,λ*)τ>>0
则X*是约束优化问题的严格局部解(证明从略)。
【例2-6】 应用约束问题解的一阶必要条件和二阶充分条件,求解问题
Ω∶g(X)=x2=0
解 该问题的拉格朗日函数为(www.daowen.com)
其梯度向量和海赛矩阵分别为
由前述知,问题的解必满足一阶必要条件:
ΔL(X,λ)=0
g(X)=0
即
解此方程组得唯一解:
x1=0,x2=0,λ=4
由此只有可能是问题的解,相应的乘子为λ*=4>0,满足K-T条件。
为考察X*是否为问题的解,我们验证它是否满足解的二阶充分条件。显然,在X*处,约束X2=0在X*处的梯度向量为
这时,相应的子空间为
因此,对任意τ∈M,τ≠0,有
于是可知,X*及λ*满足解的二阶充分条件。也就是说,X*=[0,0]T是问题的唯一解,λ*=4为相应的乘子。
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