理论教育 约束优化问题局部解二阶充分条件的优化方法

约束优化问题局部解二阶充分条件的优化方法

时间:2023-06-17 理论教育 版权反馈
【摘要】:由2.3节知,无约束问题最优解的一阶必要条件是目标函数梯度在X*点处为零向量,充分条件是f在X*点处的海赛矩阵为正定矩阵。事实上,对于约束优化问题,变量X完全被限制于由约束函数所构成的可行域内,因而解X*的极小性质也是在这个范围内而言的。为考察X*是否为问题的解,我们验证它是否满足解的二阶充分条件。

约束优化问题局部解二阶充分条件的优化方法

由2.3节知,无约束问题最优解的一阶必要条件是目标函数梯度X*点处为零向量,充分条件fX)在X*点处的海赛矩阵正定矩阵。而约束问题最优解的一阶必要条件是拉格朗日函数LXλ)在X*点处的梯度为零向量。据此是否可以推测,LXλ)在X*点处的海赛矩阵Δ2LX*λ)为正定矩阵才能保证X*是约束问题的最优点?

容易验证,上述条件是过强了。事实上,对于约束优化问题,变量X完全被限制于由约束函数所构成的可行域内,因而解X*的极小性质也是在这个范围内而言的。所以,并没有理由一定要LX*λ)在X*处沿所有方向的二阶方向导数取正值,而应当仅要求它在X*处沿起作用约束函数的方向τ上的二阶方向导数取正值。这里τ与约束函数梯度ΔguX*)垂直,即<τ,ΔgiX*)>=0。

上述方向τ组成一维空间

综上所述,可建立约束优化问题解的二阶充分条件如下:

设函数fX)和约束函数giX)(ipq)具有连续的二阶偏导数,若存在着X*En满足下列条件:

1)K-T条件成立,即存在着乘子向量λ*=(λ1*λ2*,…,λ*p+qT,使得

且当ip时,λi*giX*)不同时为零。

2)对子空间M={τ|<τ,ΔgiX*)>=0,immX*处的有效集}中的任意非零向量τ都有:

τ,Δ2LXλ*τ>>0

X*是约束优化问题的严格局部解(证明从略)。

【例2-6】 应用约束问题解的一阶必要条件和二阶充分条件,求解问题

Ω∶gX)=x2=0

该问题的拉格朗日函数为(www.daowen.com)

其梯度向量和海赛矩阵分别为

由前述知,问题的解必满足一阶必要条件:

ΔLXλ)=0

gX)=0

解此方程组得唯一解:

x1=0,x2=0,λ=4

由此只有978-7-111-29617-1-Chapter02-113.jpg可能是问题的解,相应的乘子为λ*=4>0,满足K-T条件。

为考察X*是否为问题的解,我们验证它是否满足解的二阶充分条件。显然,在X*处,约束X2=0在X*处的梯度向量为

这时,相应的子空间为

因此,对任意τMτ≠0,有

于是可知,X*λ*满足解的二阶充分条件。也就是说,X*=[0,0]T是问题的唯一解,λ*=4为相应的乘子。

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