因本文的研磨机器人系统含有主动结构（机器人本体）与被动结构（研磨工具）两部分，所以研磨机器人系统刚度为^［160］

K_p＝K₁K₂ （5-10）

式中 K₁——机器人本体的主动部分刚度；

K₂——研磨工具的被动部分刚度；

——表示两个矢量按照某种测度求和。

从图5-3中可知，机器人系统所受的力来自研磨工具端部与工件表面之间的作用力，也是系统的被动部分所受的外力。鉴于机器人的本体重量相对于吸附吸盘产生的吸附力足够大，本文假设机器人的吸盘和工件表面吸附后，机器人相对于研磨工具末端是刚性的，系统被动部分受到作用力后，这些刚性位移使被动部分（研磨工具的弹簧）产生弹性变形。Δ₁表示系统主动部分使研磨工具产生的位移，Δ₂表示工件使研磨工具弹簧产生的位移，两部分共同使研磨工具产生的变形为Δ_e。

图5-3 研磨机器人系统被动部分的结构、刚度与变形

在本文的机器人基坐标系中，设研磨工具末端在yOz平面的两个方向上刚度系数矩阵为

式中 K_yy——y方向的单位力作用引起的y方向相对于研磨工具前端中心的变形；

K_yz——y方向的单位力作用引起的z方向相对于研磨工具前端中心的变形；

K_zy——z方向的单位力作用引起的y方向相对于研磨工具前端中心的变形；

K_zz——z方向的单位力作用引起的z方向相对于研磨工具前端中心的变形。(www.daowen.com)

在图5-3中，研磨工具末端相对于机器人终端的弹性变形量为

在本文的机器人系统中，在加工平面的z方向和y方向布置两个力传感器，就可得到测量力F_yn和F_zn。

联立式（5-12）可得

在本文设计的研磨机器人系统中，弹性变形只在研磨工具末端产生，其他部分产生的是刚性位移。研磨工具末端的轴向和切向两个方向产生弹性变形，因轴向力产生的切向变形和因切向力产生的轴向变形相对较小，可以忽略。设研磨工具末端的轴向刚度系数为k_t，切向刚度系数为k_n，可得

对于研磨工具末端的刚度系数设计，主要是被动部分的弹性变形量远大于主动部分的运动误差，为避免某方向上的刚度过大，让k_t和k_n取值尽量相近，结合图5-3可得

将式（5-17）和式（5-18）代入式（5-15）可得

若令，在式（5-19）等号两边各左乘A^-1，再联立式（5-14）可得

将A代入式（5-20）可得

由于系统的被动结构部分是弹性变形全部集中发生的位置，因此可以用被动部分的位置刚度系数K₂代替系统的位置刚度系数K_P，即

如果给定了k_n和k_p，就可求出系统的位置刚度系数K_P。