1.曲面法曲率的计算^{［149，150］}

设被加工曲面为光滑曲面，其参数表达式的一般形式为

式中 S_i（u，v）——第i个曲面片的参数方程；

Q_i——4×4的方阵，表示第i个曲面片的矢量方阵；

u，v——参数方程的两个参变量，0≤u，v≤1；

k——曲面片数。

对于曲面上的任意一点，可求得下列3个矢量

式中 S_u，S_v——曲面沿u、v参数方向的切向矢量；

n——曲面的法向矢量。

由法向曲率的含义可得法向曲率公式

式中

G、D分别为曲面的第一、第二微分基本形式，(www.daowen.com)

令B＝g₁₁d₂₂＋d₁₁g₂₂-2d₁₂g₁₂，由式（3-9）可以得到曲面上任意一点的主曲率k_max、kmin

2.自由曲面的区域分类

根据微分几何关于曲面区域的定义可知，曲面的全曲率k＝k₁·k₂，k₁、k₂为曲面的两个主曲率。

（1）椭圆域。当k＝k₁·k₂＞0时，说明在该区域内曲面的弯曲朝向切平面的同一侧，如图3-5所示，这种区域内的点没有渐近方向的区域称为椭圆域，球面上点也都属于这一类情况。

（2）双曲域。当k＝k₁·k₂＜0时，这种曲面上各点的两个主曲率的正负号不同的区域称为双曲域。根据其连续性，必存在主曲率k_n＝0的两个渐近方向，在整个区域内，必存在将曲面分成沿两渐近方向的两对对顶角区域的渐近曲线族，在每个对顶角区域内各自朝相同的方向弯曲，相邻角区域内的曲面则向异向弯曲，形似马鞍，如图3-6所示。

图3-5 椭圆面

图3-6 双曲面

（3）抛物域。当k＝k₁·k₂＝0时，可知k₁＝k₂＝0为平面，但一般不是平点，所以仅有一个主曲率为零，即k₁＝0或k₂＝0，称这样的区域为抛物域，如图3-7所示。不失一般性，设k₁＝0，则k₁＝0所对应的主方向是渐近方向。由欧拉公式k_n＝k₂sin²ϕ可知，除渐近方向外，抛物域内任意一点其他方向的曲面朝k₂对应的同一方向弯曲。

图3-7 抛物面

曲面微分几何学是刀具轨迹规划算法的最重要理论基础，在机器人研磨加工过程中，刀具相对于加工曲面的位置关系式就是刀具与空间曲面的几何关系表达方式。根据以上叙述所得各类区域的特征可知，机器人研磨加工的刀具选择和路径规划，应依据曲面的这些特征来制定。