对数频域稳定判据，是奈氏判据的又一种形式，即根据开环对数幅频与对数相频曲线的相互关系来判别闭环系统稳定性。由于对数曲线作图方便，所以，对数频域稳定判据应用较广。

在图5-37上，绘制了一条开环极坐标图及其对应的对数频率特性曲线。

图5-37　极坐标图及对应的对数频率特性曲线

(a)极坐标图；(b)对数频率特性曲线

极坐标图沿ω增加方向绕(－1，j0)点的圈数N＝0。这一结论也可根据极坐标图在(－1，j0)点左侧的负实轴的穿越次数确定。“穿越”的定义陈述如下。

正穿越:开环极坐标G(jω)H(jω)曲线沿ω增加的方向逆时针穿过(－1，j0)点左侧的负实轴一次，称为一个正穿越。正穿越数用N＋表示。

半个正穿越:G(jω)H(jω)曲线逆时针开始或终止于(－1，j0)点左侧的负实轴，称为半个正穿越。

负穿越:开环极坐标G(jω)H(jω)曲线沿ω增加的方向顺时针穿过(－1，j0)点左侧的负实轴一次，称为一个负穿越。负穿越数用N－表示。

半个负穿越:G(jω)H(jω)曲线顺时针开始或终止于(－1，j0)点左侧的负实轴称为半个负穿越。

图5-37(a)的G(jω)H(jω)曲线对(－1，j0)点左侧的负实轴的穿越次数为:N＋＝1，N－＝1，则N＝N＋－N－＝1－1＝0，此结果与前述结果一致。

所以，奈氏判据也可叙述为:开环极坐标G(jω)H(jω)曲线沿ω增加的方向，对(－1，j0)点左侧的负实轴正、负穿越次数之差若等于，则闭环系统稳定。P为开环正极点数。即

将开环极坐标曲线与对数频率特性曲线对照，可引出对数频域判据。

对数频域稳定判据:闭环系统稳定的充要条件是在开环对数幅频L(ω)＞0 dB的频率范围内，对应的开环对数相频曲线φ(ω)对－π线的正、负穿越之差等于。即

式中，P为开环正极点数。这里正负穿越的含义是:正穿越指在L(ω)＞0 dB的频率范围内，其相频曲线由下往上穿过－π线一次，用N＋表示；从－π线开始往上称为半个正穿越；负穿越指在L(ω)＞0 dB的频率范围内，其相频曲线由上往下穿过－π线一次，用N－表示；从－π线开始往下称为半个负穿越。

当开环传递函数含有积分环节时，对应在对数相频曲线上ω为0＋处，用虚线向上补画ν×角。在计算正、负穿越时，应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分。

图5-37(b)的对数频率特性曲线，在L(ω)＞0 dB的频率范围内，对应相频φ(ω)曲线对－π线的N＋＝1，N－＝1，则N＝N＋－N－＝1－1＝0。此结果与前面计算的结果一致。

【例5-9】已知系统开环传递函数G0(s)＝　，试用对数频域稳定判据判别闭环稳定性。

解:绘制系统开环对数频率特性曲线如图5-38所示。开环有一个积分环节，需在相频曲线ω＝0＋处向上补画π/2角。由开环传递函数可知P＝0。

由图5-38可知，在L(ω)＞0 dB的范围内，对应相频曲线对－π线没有穿越。即N＋＝0，N－＝0，则N＝N＋－N－＝0－0＝。所以闭环稳定。

图5-38　例5-9系统开环对数频率特性曲线

【例5-10】已知一反馈控制系统其开环传递函数为G(s)H(s)＝　，试用对数频域稳定判据判别系统稳定性。

解:(1)由开环传递函数知P＝0。

(2)作系统的开环对数频率特性曲线如图5-39所示。

(3)稳定性判别。G(s)H(s)有两个积分环节，N＝2，故在对数相频曲线ω为0＋处，补画了0°到－180°的虚线，作为相频特性曲线的一部分，显见N＋＝0，N－＝1，则

R＝N＋－N－＝－1(www.daowen.com)

由于Z＝P－2R＝2，故系统不稳定。

图5-39　例5-10的对数频率特性曲线

【例5-11】最小相位系统开环传递函数为G0(s)＝　，开环增益K的大小对系统稳定性的影响如图5-40所示。

在图5-40上可以看出，当K小时极坐标图不包围(－1，j0)点，系统是稳定的；K取临界值时，极坐标图穿过(－1，j0)点，系统是临界稳定的；当K大时，极坐标图包围了(－1，j0)点，系统不稳定了。

从图上还可以看出，奈氏图穿过单位圆时，即当模为1时，有:

稳定系统，相角大于－π；

临界稳定系统，相角等于－π；

图5-40　K增大时系统稳定性的变化

不稳定系统，相角小于－π。

作为等价描述，还可以解释为:当相角为－π时，

稳定系统，模小于1；

临界稳定系统，模等于1；

不稳定系统，模大于1。

将上述情况表现在波德图上如图5-41所示，这样就得到了在波德图上的等价判据。

图5-41　波德图上的稳定性判据

当对数幅频特性穿过0 dB线时，相角大于－π，即

L(ω)＝0 dB φ(ω)＞－π

(5-78)

则闭环系统是稳定的。

或者当对数相频特性为－π时，对数幅频特性小于0 dB，即

φ(ω)＝－π

L(ω)＜0 dB

(5-79)

则闭环系统是稳定的。

上述波德图上的等价判据，只适用于最小相位系统。对于非最小相位系统，可以采用前面介绍的方法判断。

从上面的分析可以看到，利用波德图，不仅可以确定系统的绝对稳定性，而且还可以确定系统的相对稳定性，即:如果是稳定系统，那么相角还差多少度系统就不稳定了，或者增益再增大多少倍系统就不稳定了；如果系统不稳定，那么相角还需要改善多少度，或者增益值还需要减小到多大，不稳定系统就成为稳定系统了。稳定裕度的问题，正是在系统的设计中需要解决的问题。