对于图5-29所示系统，G(s)和H(s)分别为两个多项式之比的有理分式，设

图5-29　反馈控制系统

如果G(s)和H(s)没有零点和极点对消，则系统的开环传递函数为

其闭环传递函数为

奈氏判据是从研究闭环与开环特征多项式之比入手的，这一函数仍是复变量s的函数，称之为辅助函数，记作F(s)，即

辅助函数F(s)的分子是系统闭环特征多项式，分母是系统开环特征多项式。

将F(s)写成零、极点形式，则

式中，zj表示F(s)的零点，也是闭环传递函数的极点；pi表示F(s)的极点，也是开环传递函数的极点。

辅助函数F(s)具有如下特点:①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根；②其零点的个数与极点的个数相同；③辅助函数F(s)与系统开环传递函数只差常数1。

式(5-66)中的极点pi通常是已知的，但要求出其零点zj的分布就不容易了。下面利用复变函数中的辐角原理来寻找一种确定位于s右半平面内F(s)零点数目的方法，从而建立判断闭环系统稳定性的奈氏判据。

1.辐角原理

在s平面上任选一复数s，通过复变函数F(s)的映射关系，可在F(s)平面上找到相应的像。设F(s)的零、极点分布如图5-30(a)所示。在s右半平面内任作一闭合路径Γs(注意不能使路径通过F(s)的任何一个零点或极点)，在路径上任选一点A，使s从A点开始移动，绕F(s)的零点zj顺时针沿封闭曲线Γs转一周回到A点，相应的F(s)在F(s)平面上从B点出发再回到B点，也描出一条封闭曲线ΓF，如图5-30(b)所示。

图5-30　s与F(s)的映射关系

当s依Γs变化时，F(s)的相角变化为Δ∠F(s)，由式(5-66)可得:

式中，Δ∠(s－z1)(j＝1，2，…，m)表示s依Γs变化时，向量s－zj的辐角变化量。Δ∠(sp1)(i＝1，2，…，n)含义类似。式(5-67)中，在Γs路径内的zj，其辐角变化量为－2π，在Γs路径外的zj，其辐角变化量为0。根据图5-30(a)所示，路径Γs中只包围了一个zj，其余的F(s)的零、极点均分布在Γs之外，所以

上式表示，在F(s)平面，F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针转了一圈。

同样当s从s平面上A点开始，绕F(s)的一个极点pi顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转一圈。

辐角原理:如果封闭曲线Γs内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依Γs顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P和Z之差，即

R＝P－Z

(5-69)

若R为负，表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。

2.奈氏判据

如果把s平面的封闭曲线Γs取为虚轴与s右半平面上半径ρ为无穷大的半圆，如图5-31所示。那么Γs就扩大到了整个s右半平面，则式(5-69)中的P和Z分别表示辅助函数F(s)分布在s右半平面的极点和零点数，也就是开、闭环传递函数分布在s右半平面上的极点数。当s沿无穷大半圆及虚轴变化时，F(s)在F(s)平面上绕原点反时针转的圈数R＝P－Z。若Z＝0，则F(s)在F(s)平面绕原点反时针方向转过的圈数R＝P，说明闭环系统是稳定的；若R≠P，说明闭环系统是不稳定的。闭环分布在s右半平面的极点数可由下式求得

Z＝P－R

(5-70)

如果开环稳定，即P＝0时，闭环系统稳定的条件是:F(s)绕原点转过的圈数R＝0。

辅助函数F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间仅相差1，显然，F(s)在F(s)平面绕原点反时针方向转过的圈数等于在G(s)H(s)平面上变为绕(－1，j0)点反时针方向转过的圈数，因此，式(5-69)中的R可用G(s)H(s)绕(－1，j0)点反时针方向转过的圈数来确定。

当ω从－∞→0和从0→＋∞时，对应的两条G(jω)H(jω)曲线相对于实轴是对称的，所以实际上只要绘制ω从0→∞变化时的曲线，这时对应的G(jω)H(jω)曲线绕(－1，j0)点转过的圈数N(反时针方向转过的圈数为正，顺时针方向转过的圈数为负)为

图5-31　包括全部s右半平面的封闭曲线Γs

闭环系统稳定的条件是Z＝0，则有

若闭环系统不稳定，则闭环在s右半平面的极点数为

Z＝P－2N(www.daowen.com)

(5-73)

奈奎斯特稳定判据　闭环系统稳定的充要条件是:当ω由0变到∞时，开环极坐标图

G(jω)H(jω)绕(－1，j0)点反时针方向转过圈，其中P为开环传递函数位于s右半平面的极点数。若开环系统稳定，即P＝0时，则闭环系统稳定的充要条件是:开环极坐标图G(jω)H(jω)不包围(－1，j0)点。

3.关于开环传递函数包含积分环节的处理

当开环传递函数G(s)H(s)包含有积分环节时，则开环具有s＝0的极点，此极点分布在坐标原点上。其开环传递函数可用下式表示:

由于s平面上的坐标原点是所选闭合路径Γs上的一点，把这一点的s值代入G(s)H(s)后，使→∞，这表明坐标原点是G(s)H(s)的奇点，为了使Γs路径不通过此奇点，将它作些改变使其绕过原点上的极点，并把分布在坐标原点上的极点排除在被它所包围的面积之外，但仍应包含s右半平面内的所有闭环和开环极点，为此，以原点为圆心，作一个半径为无穷小的半圆，使Γs路径沿着这个无穷小的半圆绕过原点，如图5-32所示。

图5-32　G(s)H(s)包含积分环节时的Γs路径和极坐标图

这样闭合路径Γs就由－jω轴、无穷小半圆、jω轴、无穷大半圆四部分组成。当无穷小半径趋于0时，闭合路径Γs仍可包围整个s右半平面。

位于无穷小半圆上的s可用下式表示

下面讨论ν＝1时，令ε→0。将式(5-75)代入式(5-74)中，得

根据式(5-76)可确定s平面上的无穷小半圆映射到G(s)H(s)平面上的路径。在图5-32中的a点，s的幅值ε→0，相角θ为－，这说明无穷小半圆上的a点映射到G(s)H(s)平面上为正虚轴上无穷远处的一点。在b点处，ε→0，相角θ为0，对应→∞，φ＝－θ＝0，说明b点映射到G(s)H(s)平面上为正实轴上无穷远处的一点。对于c点，ε→0，θ＝。这说明c点映射到G(s)H(s)平面上为负虚轴上无穷远处的一点。当s沿无穷小半圆由a点移到b点，再移到c点时，角度θ反时针方向转过180°，而对G(s)H(s)的角度，则是顺时针方向转过180°。s平面上的半圆abc，映射到G(s)H(s)平面上为无穷大的半圆abc，如图5-32所示。

如果系统的类型是ν型，则G(s)H(s)角度的变化是ν×180°。对于ω从0→∞的极坐标图补画的角度为ν×180°/2。

开环传递函数有积分环节时，作如上处理，是将开环分布在坐标原点的极点当成分布在s平面左半部的极点了，然后按奈氏判据判断稳定性即可。

【例5-6】试判断图5-33所示系统的稳定性。

图5-33　例5-6系统的开环极坐标图

解:根据对称性，分别作出三个系统ω＝－∞→0的奈氏曲线，如图5-34中虚线所示。

图5-34　例5-6系统的奈氏曲线

(a)由图知，P＝0且R＝0，所以闭环系统是稳定的。

(b)因为R＝－2(开环奈氏曲线顺时针包围(－1，j0)点2圈)，所以Z＝P－R＝2≠0，因此闭环系统是不稳定的。

(c)因为R＝＋1－1＝0，所以闭环系统是稳定的。

【例5-7】已知系统开环传递函数G0(s)＝　，试应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

解:(1)画出系统开环极坐标图。

开环传递函数可化为

给出ω的一系列数值，可绘出系统的开环极坐标图如图5-35所示。

(2)根据奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

由已知开环传递函数，可确定P＝0，即开环系统稳定，开环极坐标曲线包围(－1，j0)点，所以闭环系统不稳定。

【例5-8】已知系统开环传递函数G0(s)＝，试应用奈氏判据判别K＝0．5和K＝2时的闭环系统稳定性。

解:(1)分别作出K＝0．5和K＝2时的开环极坐标图。

(2)根据开环传递函数，得P＝1。

当K＝0．5时，G0(jω)曲线1绕(－1，j0)点转过的圈数为0，不等于P/2次。所以，闭环系统不稳定。

当K＝2时，G0(jω)曲线2绕(－1，j0)点沿ω增大的方向反时针转过1/2圈，正好等于P/2，所以闭环系统稳定。

从图5-36看出，当开环增益K变化时，G0(jω)曲线的形状不变，只是曲线成比例地增大或缩小，但可能影响闭环系统的稳定性。

图5-35　例5-7系统的开环极坐标图

图5-36　例5-8系统开环极坐标图