复杂的控制系统一般由典型环节连接而成。要用频率特性的图解法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节频率特性及作图。因此，本节叙述各典型环节的绘图要点及绘图方法。

典型环节可分为两大类，一类为最小相位环节，另一类为非最小相位环节。最小相位环节指开环零极点全部位于s左半平面的环节。如比例环节K(K＞0时)、惯性环节1/(Ts＋1)(T＞0时)、一阶微分环节Ts＋1(T＞0时)等；非最小相位环节指开环零极点位于s右半平面的环节，如比例环节K(K＜0时)、惯性环节1/(－Ts＋1)(T＞0时)、一阶微分环节－Ts＋1(T＞0时)等。

1.比例环节

频率特性为

幅频特性为

A(ω)＝K

(5-12)

相频特性为

φ(ω)＝0°

(5-13)

对数幅频特性为

L(ω)＝20lgA(ω)＝20lgK

(5-14)

对数相频特性为

φ(ω)＝0°

(5-15)

比例环节的极坐标图是一个长度为K，角度为0°的一个向量的端点，如图5-4所示。对数幅频特性和相频特性均为水平线，如图5-5所示。

图5-4　比例环节的极坐标图

图5-5　比例环节的波德图

2.积分环节

频率特性为

幅频特性为

相频特性为

对数幅频特性为

对数相频特性为

当ω由0＋→∞时，其相角φ(ω)恒为－90°，幅值A(jω)的大小与ω成反比。因此，极坐标图在负虚轴上。积分环节的极坐标图如图5-6所示。对数幅频特性L(ω)＝20lg＝－20lg ω，为每十倍频衰减20 dB的一条斜线，等斜率变化。对数相频特性是相角φ(ω)为－90°的一条直线。积分环节的对数频率特性如图5-7所示。

图5-6　积分环节的极坐标图

图5-7　积分环节的波德图

3.微分环节

频率特性为

幅频特性为

A(jω)＝jω＝ω

(5-22)

相频特性为

φ(ω)＝∠jω＝90°

(5-23)

对数幅频特性为

L(ω)＝20lgω

(5-24)

对数相频特性为

φ(ω)＝∠jω＝90°

(5-25)

当ω由0＋→∞时，微分环节的相角恒为＋90°，幅值的大小与ω成正比。因此，极坐标曲线在正虚轴上，如图5-8所示，与积分环节的极坐标图相反。对数幅频特性L(ω)与积分环节相对，为等斜率增加20 dB/dec的一条曲线。对数相频特性是相角φ(ω)为＋90°的一条直线。微分环节的对数频率特性如图5-9所示。

图5-8　微分环节的极坐标图

图5-9　微分环节的波德图

4.惯性环节

频率特性为

即

幅频特性为

相频特性为

对数幅频特性为

对数相频特性为

φ(ω)＝－arctanωT

(5-30)

幅频特性的极限值为A→1，A?→0，相频特性的极限值为φ→0°，φ→－90°，依照此趋势分析可以作出惯性环节的极坐标图，如图5-10所示。可以证明，惯性环节的极坐标图为下半圆。

对于惯性环节的对数坐标图，如果徒手近似作图，可以采用渐近线作图。首先确定它的两条渐近线。由于L (＝20lg1＝0 dB，所以当频率趋于零时，是一条水平渐近线。由于L＝20lg＝－20lgωT，因此当频率趋于无穷大时，是一条等斜率递减的渐近线，斜率为－20 dB/dec。

两条渐近线的交点处的频率称为转折频率，其坐标为

当频率ω→0时，φ(ω)→0°；当ω→时，φ(ω)→－45°；当ω→∞时，φ(ω)→－90°。且对于所有的频率有φ(ω)＜0。相频特性φ(ω)是单调减的，而且以转折频率为中心，两边的角度是反对称的。依照上述分析作出惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性曲线如图5-11所示。

图5-10　惯性环节极坐标图

图5-11　惯性环节波德图

从对数幅频特性L(ω)上可以看出，用渐近线作图是有近似误差的，最大误差发生在转折频率处。将其坐标代入表达式L(ω)，可以算出最大误差为

因最大误差两端的误差值是对称的，故可以作出误差修正曲线如图5-12所示，来对渐近线作图所产生的误差进行修正。(www.daowen.com)

从误差曲线可以看到，在转折频率处，最大误差为－3．01 dB，两端十倍频程处的误差降到－0．04 dB。所以两端十倍频程之外的误差可以忽略不计。

5.一阶微分环节

频率特性为

图5-12　惯性环节折线误差曲线

G(jω)＝1＋jωT

(5-33)

幅频特性为

相频特性为

φ(ω)＝arctan ωT

(5-35)

对数幅频特性为

对数相频特性为

φ(ω)＝arctan ωT

(5-37)

图5-13　一阶微分环节的极坐标图

幅频特性当频率ω由0变到∞时，实部始终为单位1，虚部则随着ω线性增长；相频特性随着ω由0变到∞时，角度由0°→90°。所以，它的极坐标图比较特殊，如图5-13所示。

从上述的表达式可以看出，由于一阶微分环节与一阶惯性环节的对数频率特性是上下对称的，因此可以利用一阶惯性环节的对数频率特性对称画出。其对数频率特性曲线如图5-14所示。

图5-14　一阶微分环节的波德图

6.二阶振荡环节

频率特性为

幅频特性为

相频特性为

对数幅频特性为

对数相频特性为

当ω→0时，A(0)＝1，φ(0)＝0°；当ω＝＋∞时，A(＋∞)＝0，φ(＋∞)＝－180°。由于频率增加时，相角φ(ω)＝－arctan是单调减的，所以曲线从实轴出发，射向第四象限，曲线的模以相角－180°趋于零。其极坐标图，如图5-15所示。

另外，从图5-15上可以看到，有的曲线的模超出了单位圆，可以求得系统的最大模值，该值也称为谐振峰值Mr，即在某一振荡频率ω＝ωr处，二阶振荡环节产生谐振峰值，则有。因此，可以解出谐振频率为

将其代入幅值表达式，求得谐振峰值为

以及无谐振峰值时的系统参数临界值为ωr＝0，ζ＝0．707。ζ＞0．707、ζ＝0．707和ζ＜0．707的无谐振峰值、临界谐振峰值和有谐振峰值的三条极坐标图的曲线如图5-15所示。

图5-15　二阶振荡环节的极坐标图

对数坐标图仍可以渐近线作图。由于L (＝20lg1＝0 dB，是一条水平线；L＝20lg　＝－40lgTω，是一条斜率为－40 dB/dec的等斜率直线，其转折频率为ω＝。所以类似于惯性环节，可以绘出振荡环节的波德图的渐近线近似，如图5-16所示。在阻尼比ζ不同时，对数幅频特性L(ω)的准确曲线，如图5-16中的粗实线所示。

对于二阶振荡环节的对数相频特性:当ω→0时，φ(0)＝0°；当ω＝时，φ＝－90°；当ω→∞时，φ(ω)＝－arctan＝－180°。并且由于系统阻尼比ζ取值不同，φ(ω)在ω＝邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率就越大。阻尼比分别为ζ＞0．707、ζ＝0．707和ζ＜0．707时三条对数相频特性如图5-16所示。

图5-16　阻尼系数不同时二阶振荡环节的波德图

7.二阶微分环节

频率特性为

幅频特性为

相频特性为

对数幅频特性为

对数相频特性为

当ω→0时，A(0)＝1，φ(0)＝0°；当ω＝＋∞时，A(＋∞)＝＋∞，φ(＋∞)＝180°。由于频率增加时，相角φ(ω)＝arcta n是单调增的，所以曲线从实轴出发，经过第一象限射向第二象限，曲线的模以相角180°趋于无穷远。其极坐标图，如图5-17所示。

由于二阶微分环节与二阶振荡环节互为倒数，因此，其波德图可以参照二阶振荡环节的波德图对称画出，如图5-18所示。

图5-17　二阶微分环节的极坐标图

图5-18　二阶微分环节的波德图

8.延迟环节

频率特性为

幅频特性为

A(ω)＝1

(5-51)

相频特性为

φ(ω)＝－ωτ

(5-52)

对数幅频特性为

L(ω)＝20lgA(ω)＝20lg1＝0

(5-53)

对数相频特性为

φ(ω)＝－ωτ

(5-54)

延迟环节的极坐标图如图5-19所示。波德图如图5-20所示。

图5-19　延迟环节的极坐标图

图5-20　延迟环节的波德图