1.开环零点变化时的根轨迹

设系统的开环传递函数为

式中，K*为开环根轨迹增益，这里是已知的，而z1是开环零点，现在要研究当z1＝0→∞时，系统的闭环根轨迹变化情况。显然不能利用常规根轨迹法，但是，考虑到闭环系统常规根轨迹方程是从闭环特征方程推导出来的，而不管是K*变化还是z1变化，闭环系统特征方程是相同的，这样就可以仿照关于K*变化的常规根轨迹方程写出关于z1变化的广义根轨迹方程。首先从特征方程式相同出发，引入等效开环传递函数的概念，然后用常规根轨迹所有法则来绘制广义根轨迹。下面以式(4-22)具体系统为例，说明什么是等效开环传递函数，以及等效开环传递函数的一般求法。

式(4-22)所对应的闭环特征方程为

对式(4-24)进行等效变换，可写成

令

式(4-26)就是等效开环传递函数。将之与式(4-22)比较可见，两系统具有相同的闭环特征方程，但具有不同的闭环传递函数，即闭环极点相同，而零点不一定相同。一般情况下闭环系统特征方程为

G(s)H(s)＋1＝0

(4-27)(www.daowen.com)

进行等效变换，写成如下形式

式中，A为系统除K*以外的任意变化的参数，如开环零、极点等，P(s)和Q(s)为与A无关的首项系数为1的多项式。将式(4-28)与式(4-26)比较可见，A 为等效开环传递函数，即

显然，利用式(4-29)就可画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。

2.开环极点变化时的根轨迹

设单位负反馈系统的开环传递函数为

式中，K*为开环根轨迹增益，而p1是系统的开环极点。现在研究p1＝0→∞变化的根轨迹，显然这也是广义根轨迹，它的等效开环传递函数为

根据等效开环传递函数式(4-30)可以画出开环极点p1变化时的广义根轨迹。