所谓根轨迹，是指开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环系统特征方程的根在s平面上移动的轨迹。

下面结合例4-1所示系统，说明什么是根轨迹以及根轨迹应该满足什么样的条件方程。

【例4-1】设控制系统的动态结构图如图4-1所示，绘出此系统的根轨迹。

解:系统的闭环传递函数为

闭环特征方程为

图4-1　控制系统结构图

s2＋2s＋kg＝0

用解析法可求得两个根为

当增益从kg＝0开始逐渐增加取不同值时，可求得相应的特征根s1、s2的值如表4-1所示。因为系统的闭环特征根是连续变化的，表现在s平面上的轨迹即为该系统的根轨迹，如图4-2所示。图中箭头方向表示增益kg增大时闭环根移动的方向，开环极点用“×”来表示，开环零点用“○”来表示(本例系统没有开环零点)，粗实线即为增益kg变化时闭环根移动的轨迹。

表4-1　例4-1所示系统的增益与闭环特征根的值

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在图4-2上，kg＝0时为根轨迹的起点。闭环特征方程为

s2＋2s＝0

即

s(s＋2)＝0

所以根轨迹的起点也是系统的开环极点。

当增益增加到kg＝1时，方程为s2＋2s＋1＝0，方程有两个重根s1，2＝－1，所以增益的范围为0≤kg≤1时，闭环根在实轴上的轨迹如图4-2中粗实线所示。

图4-2　例4-1系统的根轨迹图

当增益kg≥1后，闭环特征根为

共轭复数根的实部为常数－1，虚部随着kg的增大向上下延伸，如图4-2所示。

当kg→∞时有

如果令增益kg从零变到无穷，可以用解析的方法求出闭环根的全部数值，将这些数值标注在s平面上，并连成光滑的粗实线，即为如图4-2所示的该系统的根轨迹。根轨迹上的箭头表示随着kg值的增加根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环根位置相应的增益kg的数值。