劳斯判据，又称为代数稳定判据。在1877年，英国数学家劳斯(E．J．Routh)提出的线性定常系统稳定性判定的方法，具体步骤如下。

(1)首先列出系统闭环特征方程式

ansn＋an－1sn－1＋an－2sn－2＋…＋a1s＋a0＝0

(3-46)

式中各个项系数均为实数，且使an＞0。

(2)根据特征方程式列出劳斯阵列表

表中各未知元素由计算得出，其中

同样的方法，求取表中其余行的系数，一直到第n＋1行排完为止。

(3)根据劳斯阵列表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判断系统的稳定性。

劳斯判据的内容如下:

如果劳斯阵列表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在s的左半平面，相应的系统是稳定的；如果劳斯阵列表中第一列系数的符号发生变化，则系统不稳定，且第一列元素正负号的改变次数等于特征方程式的根在s平面右半部分的个数。

【例3-3】设系统的特征方程式为s4＋6s3＋12s2＋6s＋1＝0，应用劳斯判据判断系统闭环的稳定性。

解:列出劳斯阵列表为

劳斯阵列表左端第一列中有没有符号改变，所以系统稳定。

【例3-4】设系统的特征方程式为s4＋2s3＋3s2＋4s＋5＝0，使用劳斯判据判断系统的稳定性。

解:列出劳斯阵列表为

劳斯阵列表左端第一列中有负数，所以系统不稳定；又由于第一列数的符号改变两次，1→－6→5所以系统有两个根在s右半平面。

注意:在劳斯阵列表的计算过程中，可能出现以下两种特殊情况。

(1)劳斯阵列表中第一列某个元素为零，而同行的其余元素不为零或没有其余项。在这种情况下，可以用一个很小的正数ε代替这个零，并据此计算出数组中其余各项。如果劳斯阵列表第一列中ε上下各项的符号相同，则说明系统存在一对虚根，系统处于临界稳定状态；如果ε上下各项的符号不同，表明有符号变化，则系统不稳定。

【例3-5】系统特征方程式为s4＋3s3＋3s2＋3s＋2＝0，试用劳斯判据判别系统的稳定性。(www.daowen.com)

解:特征方程式各项系数均为正数，列出劳斯阵列表如下

由于ε是很小的正数，而第一列元素除了一个零值外，其余元素全部大于零，所以系统是临界稳定的。

(2)如果劳斯表中某一行中的所有元素都为零，则表明系统存在大小相等符号相反的实根和(或)共轭虚根，这时可以利用该行上面一行的系数构成一个辅助方程式，将对辅助方程式求导后的系数列入该行，这样，劳斯阵列表中其余各行的计算可继续下去。s平面中这些大小相等、方向相反的根可以通过辅助方程式得到，而且这些根的个数总是偶数。

【例3-6】系统特征方程式为s5＋2s4＋3s3＋6s2－4s－8＝0，试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解:该系统劳斯阵列表如下

由上表可以看出，算到s3行的时候，各项全部为零。为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为

P(s)＝2s4＋6s2－8

将辅助方程式P(s)对s求导数得

用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯阵列表为

从上表的第一列元素可以看出，符号改变一次，说明系统有一个正实部根，因而系统不稳定。

另一种应用比较广泛的稳定性判据是1895年由德国数学家A．赫尔维茨提出的赫尔维茨稳定判据。

重写系统的特征方程式(3-46)如下

ansn＋an－1sn－1＋an－2sn－2＋…＋a1s＋a0＝0

列写出赫尔维茨各阶子行列式

即在主对角线上写出从第二项(an－1)到最末一项系数(a0)，在主对角线以上的各行中，填充下标号码递增的各系数，而在主对角线以下的各行中，则填充下标号码递减的各系数。如果在某位置上按次序应填入的系数大于an或小于a0，则在该位置上填以0。

赫尔维茨行判据:如果赫尔维茨各阶行列式都大于0，即Di＞0(i＝1，2，…，n)，则系统稳定，即特征方程式的根都具有负实部；否则，系统不稳定。

【例3-7】控制系统闭环特征方程式为2s4＋s3＋3s2＋5s＋10＝0，应用赫尔维茨判据判别系统的稳定性。

解:赫尔维茨各阶子行列式为

由于D2＜0，因此不满足赫尔维茨各阶行列式全部为正的条件，属于不稳定系统。D3、D4可以不再进行计算。