由上述分析可知，二阶系统的单位阶跃响应，要达到既有充分的快速性，又有足够的阻尼使系统平稳，比较理想的选择是欠阻尼系统。因此，在工程实际中人们常常调整参数，使系统工作在欠阻尼状态。下面来进一步定量计算欠阻尼系统各项动态指标。

1.上升时间tr

根据定义，当t＝tr时，c(tr)＝1。由式(3-19)，得

则

由于

所以有

ωdtr＋β＝kπ，　　(k＝1，2，…)

于是当k＝1时，得上升时间

tr＝(π－β)/ωd

(3-30)

显然，增大ωn或减小ζ，均能减小tr，从而加快系统的初始响应速度。

2.峰值时间tp

将式(3-19)对时间t求导，并令其为零，可求得峰值时间tp，即

则

因为

从而得

ωdtp＝kπ　(k＝1，2，…)

按峰值时间定义，它对应最大超调量，即c(t)第一次出现峰值所对应的时间，所以tp应取

式(3-31)表明，峰值时间等于阻尼振荡周期(2π/ωd)的一半。当阻尼比ζ不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间tp越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。

3.超调量σ%

当t＝tp时，c(t)有最大值c(t)max，即c(t)max＝c(tp)。对于单位阶跃输入，系统的稳态值c(∞)＝1，将峰值时间表达式(3-31)代入式(3-19)，得最大输出为

因为

所以

则超调量为

可见超调量仅由ζ决定，ζ越大，σ%越小，σ%和ζ的关系如图3-12所示。

图3-12　欠阻尼二阶系统超调量和阻尼比的关系曲线(www.daowen.com)

4.调节时间ts

根据调节时间的定义，ts应由下式求出

由上式可看出，求解上式十分困难。由于正弦函数存在，ts值与ζ间的函数关系是不连续的，为了简便起见，可采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数函数衰减到Δ＝0．05或Δ＝0．02时，动态过程即结束。这样得到

即

由此求得

通过以上分析可知，ts近似与ζωn成反比。在设计系统时，ζ通常由要求的最大超调量决定，所以调节时间ts由无阻尼自然振荡频率ωn所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变ωn值来改变调节时间ts。

由以上讨论，可得到如下结论:

(1)阻尼比ζ是二阶系统的重要参数，由ζ值的大小，可以间接判断一个二阶系统的动态品质。在过阻尼的情况下，动态特性为单调变化曲线，没有超调量和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当ζ≤0时输出量做等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。

(2)一般情况下，系统在欠阻尼情况下工作。但是ζ过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，动态特性品质差。应该注意，超调量只和阻尼比有关。因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比ζ。

(3)调节时间与系统阻尼比ζ和ωn这两个特征参数的乘积成反比。在阻尼比一定时，可通过改变ωn来改变动态响应的持续时间。ωn越大，系统的调节时间越短。

(4)为了限制超调量，并使调节时间ts较短，阻尼比一般在0．4～0．8，这时阶跃响应的超调量将在25%～1．5%。

【例3-1】已知系统结构如图3-13所示，试求单位阶跃响应的tr、tp、σ%、ts(Δ＝2%)。

图3-13　例题3-1系统结构图

解:

由标准式Φ(s)＝可得

即

【例3-2】设单位反馈的二阶系统阶跃响应曲线如图3-14所示，试确定系统开环传递函数。

解:由图可直接得出系统的超调量为

峰值时间为

tp＝0．1(s)

由式(3-31)及式(3-32)得

解得

图3-14　例3-2响应曲线

ζ＝0．357，ωn＝3．36

于是得二阶系统开环传递函数为