在单位阶跃函数作用下，二阶系统输出的拉氏变换为

由于特征根s1，2与系统阻尼比有关，当阻尼比ζ为不同值时，单位阶跃响应有不同的形式，下面分几种情况来分析二阶系统的动态特性。

1.欠阻尼情况(0＜ζ＜1)

由于0＜ζ＜1，则系统的一对共轭复数根可写为

当输入信号为单位阶跃函数时，系统输出量的拉氏变换为

式中，ωd＝ωn，称为阻尼振荡角频率，因此阻尼振荡周期为2π/ωd。对上式进行拉氏反变换，则欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

式中，sinβ＝，cosβ＝ζ，则有

由式(3-19)知欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成，第一项为稳态分量，第二项为动态分量。它是一个幅值按指数规律衰减的有阻尼的正弦振荡系统，振荡角频率为ωd。其响应曲线如图3-11所示。

2.临界阻尼情况(ζ=1)

当ζ＝1时，系统有两个相等的负实根，为

s1，2＝ωn

(3-21)

在单位阶跃函数作用下，输出量的拉氏变换为

其反拉氏变换为

c(t)＝1－e－ωnt(1＋ωnt)　　(t≥0)

(3-23)(www.daowen.com)

式(3-23)表明，临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上升过程，整个响应特性不产生振荡，此时响应曲线如图3-11所示。

3.过阻尼情况(ζ＞1)

当ζ＞1时，系统有两个不相等的负实根

当输入信号为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为

其拉氏反变换为

上式表明，系统响应含有两个单调衰减的指数项，它们的代数和决不会超过稳态值1，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的。其响应曲线如图3-11所示。

4.无阻尼情况(ζ=0)

当ζ＝0时输出量的拉氏变换为

其特征方程式的根为

s1，2＝　－jωn

(3-28)

因此二阶系统的输出响应为

c(t)＝1－cosωnt　　(t≥0)

(3-29)

式(3-29)表明，系统为不衰减的振荡，其振荡频率为ωn，系统属不稳定系统。其响应曲线如图3-11所示。

图3-11　阻尼比不同时二阶系统单位阶跃响应曲线

阻尼比ζ为二阶系统的重要特征参量，由图3-11可以看出，在不同阻尼比ζ时，二阶系统的动态响应有很大区别。当ζ＝0时，系统不能正常工作，而在ζ＞1时，系统动态响应进行得太慢，所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况是最有意义的，下面将以欠阻尼情况讨论动态特性指标。