了解典型元件的微分方程，就可以求出整个控制系统的微分方程。首先，找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的连接方式和各自的工作原理，分别列写出各典型元件的微分方程，组成方程组，消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式即为控制系统的微分方程。

【例2-6】已知一个位置随动系统如图2-8所示，试写出其运动方程。

解:如图2-8所示位置随动系统，1和2为结构和参数完全相同的电位器，当电位器1转动一个角度θr(t)时，通过控制装置的控制使电位器2跟随转动相同的角度θc(t)。所以系统的输入变量为θr(t)，输出变量为θc(t)。

图2-8　位置随动系统原理示意图

1.电位器及比较元件方程

式中，kw为电位器变换系数(V/rad)，kw＝，其中E为电位器电源电压(V)，θmax为电位器最大角度(rad)；θr(t)为电位器1输入的角位移(rad)；θc(t)为电位器2输出的角位移(rad)；ε(t)为偏差信号(V)。

2.运算放大器方程

ua(t)＝kfε(t)

(2-28)

式中，ua(t)为电枢电压(V)；kf为运算放大器放大倍数(增益)。

3.电枢控制的直流电动机方程(www.daowen.com)

由式(2-25)可知，当直流电动机容量很小时，可忽略电枢电感的影响，因此电动机的模型为一阶微分方程，由于本题以角位移为输出量，而ω(t)＝，则电枢控制的直流电动机模型为

式中，机电时间常数Tm＝，其中J包含负载及减速器折算过来的部分，即

4.齿轮减速器方程

式中，i表示齿轮减速器传动比，i＝Z2/Z1。

联立式(2-27)～式(2-30)，消去ε(t)、ua(t)、θ(t)得二阶线性微分方程如下

式中，K＝kwkf/(Cei)。式(2-31)就是位置随动系统的微分方程。

由上可见，线性系统微分方程的一般形式为高阶微分方程，即

若ai(i＝0，1，…，n)、bj(j＝0，1，…，m)是恒定常数，则系统为线性定常系统，也称为线性时不变(LTI)系统；若ai(i＝0，1，…，n)、bj(j＝0，1，…，m)是随时间变化的参数，则系统称为线性时变系统。