以上所讨论的欧拉公式是以压杆挠曲轴的近似微分方程为依据而推导出的,而这个微分方程式只在材料服从胡克定律的条件下才成立。所以,只有在材料服从胡克定律时,即杆内的应力不超过材料的比例极限时,才能用欧拉公式来计算压杆的临界压力。将临界压力Fcr除以杆件的截面面积A求得的应力,称为压杆的临界应力σcr,即

将横截面的惯性矩I写成I=i2A,这里i为惯性半径。于是式(13-11)写成

记

式中,λ是一无量纲参数,称为压杆的柔度或长细比。则式(13-12)可写成

式(13-14)是欧拉公式的另一表达形式。只有临界应力σcr小于比例极限σp时,欧拉公式才是正确的。令式(13-14)中的σcr≤σp,得

可见,只有当压杆的柔度λ大于或等于极限值欧拉公式才可使用。以λ1代表这极限值,即

式(13-15)便可写成

这就是欧拉公式的适用范围,不在这个范围之内的压杆不能使用欧拉公式。

式(13-16)表明,λ1与材料的性能有关,材料不同,λ1的数值也就不同。以Q235钢为例,E=200GPa,σp=200MPa,代入式(13-16)得

所以,由Q235钢制成的压杆,只有当λ≥100时,才可以使用欧拉公式。又如,对E=70GPa,σp=175MPa的铝合金,由式(13-16)求得λ1=62.8。表明由这类铝合金制成的压杆,只有λ≥62.8时,才可使用欧拉公式。满足条件λ≥λ1的压杆称为大柔度压杆或细长压杆。(www.daowen.com)

若压杆的柔度小于λ1,由式(13-14)算出的σcr大于材料的比例极限σp,欧拉公式不能使用。这类压杆是在应力超过比例极限后失稳的。对这类压杆,工程计算中一般使用经验公式(这些公式的依据是大量的试验资料)。这里只介绍经常使用的直线公式和抛物线公式。

直线公式把临界应力σcr与柔度λ表示为下列直线关系

式中,a和b是与材料有关的常数。表13-2列举了几种材料的a和b值。

表13-2

柔度很小的短柱,如压缩试验用的金属短柱或水泥块,受压时并不会像大柔度杆那样出现弯曲变形,主要是因为压应力达到屈服点应力(塑性材料)或抗压强度(脆性材料)而失效。所以,对塑性材料,按式(13-18)算出的临界应力最高只能等于σs,设相应的柔度为λ2,则

这是使用直线公式时柔度的最小值。

总结以上的讨论,对λ＜λ2的小柔度压杆,应按强度问题计算,在图13-7中表示为水平线AB。对λ＞λ1的大柔度压杆,用欧拉公式计算临界应力,在图13-7中表示为曲线CD。柔度介于λ2和λ1之间的压杆称为中等柔度压杆,用经验公式(13-18)计算临界应力,在图13-7中表示为斜直线BC。图13-7表示临界应力σcr随柔度λ变化的情况,称为临界应力总图。

图13-7

抛物线公式把临界应力σcr与柔度λ表示为下面的抛物线关系

式中,a1和b1是与材料有关的常数。

思政提示

大柔度杆临界应力用欧拉公式计算,中柔度杆则用经验公式计算。所有理论都有其适用范围和使用条件,不存在一种理论在任何范围内都适用。我们在学习理论时,必须要注意理论的适用范围和使用条件,否则就会产生错误。