已知挠曲轴近似微分方程为

将此方程积分一次后,得到转角方程,即

再次积分后,得到挠曲轴的方程,即

式(10-9)中,C与D均为积分常数,由边界条件和变形连续条件确定。当积分常数确定后,将其代入式(10-8)与式(10-9)就可以求出任意横截面的挠度和转角。

在梁的支座处,根据支座提供的位移限制特征,可给定挠度和转角。例如,在固定端,挠度和转角都为0,如图10-4(a)所示;在铰支座上,挠度为0,如图10-4(b)所示。这类条件称为边界条件。此外,挠曲轴应该是一条连续光滑的曲线,不应有图10-5(a)和(b)所示的不连续和不光滑的情况。亦即,在挠曲轴的任意点上,有唯一确定的挠度和转角,这就是连续条件。根据连续条件和边界条件,就可确定积分常数。

图10-4

图10-5

当弯矩方程需要分段建立,或弯曲刚度沿梁轴变化以致其表达式需要分段建立时,挠曲轴近似微分方程也需分段建立,而在各段的积分中,将分别包含两个积分常数。为了确定这些常数,除应利用位移边界条件外,还应利用分段处挠曲轴的连续、光滑条件。因为在相邻梁段的交接处,相连两截面应具有相同的挠度与转角。分段处挠曲轴所应满足的连续、光滑条件,简称为梁位移的连续条件。

对于分段数为n的静定梁,求解时将包括2n个积分常数,但由于存在(n-1)个分界面,因此将提供2(n-1)个连续条件,再加上两个位移边界条件,共2n个约束条件,恰好可用于确定2n个积分常数。由此可见,梁的位移不仅与弯矩及弯曲刚度有关,而且与梁位移的边界条件及连续条件有关。

例10-1　图10-6为镗孔示意图,为保证镗孔的精度,镗刀杆的弯曲变形不能过大。设镗刀杆的直径d=10mm,长度l=50mm,弹性模量E=210GPa,切削力P=200N。试求镗刀杆上安装镗刀的截面B的转角和挠度。

图10-6

解:(1)求支反力、写出弯矩方程(www.daowen.com)

M(x)=-P(l-x)

(2)列写挠曲轴近似微分方程,并积分

对x积分,有

(3)由边界条件确定积分常数

将式(c)、式(d)代入式(a)、式(b)得

因此,镗刀杆的转角方程和挠曲轴方程为

(4)确定指定的转角与挠度。

将x=l,代入上面两式,有

将具体数据代入,有

思政提示

只有准确地找到边界条件,才能正确地求解挠曲轴近似微分方程。只有正确地设立自己的奋斗目标,将社会责任和国家前途放在心上,培养大国工匠精神,以科技报国作为自己的使命,才能肩负起新时代所赋予我们的历史使命。