工程中经常遇到像桥式起重机的大梁和火车轮轴这样的构件,分别如图10-1(a)、(b)所示。作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴线,使原为直线的轴线变形为曲线,发生弯曲变形。某些杆件,如图10-1(c)所示的镗刀杆等,在载荷作用下,不但有弯曲变形,还有扭转变形等。当讨论其弯曲变形时,仍然把它作为梁来处理。

图10-1

在外力作用下,梁的轴线由直线变为曲线,如图10-2所示。变弯后的梁轴称为挠曲轴,它是一条连续而光滑的曲线。由上一章可知,如果作用在梁上的外力均位于梁的同一纵向对称面内,则挠曲轴为一平面曲线,并位于该对称面内。

研究表明,对于细长梁,剪力对其变形的影响一般可忽略不计,即认为变形后各截面仍保持平面。因此,梁的变形可用截面形心的线位移与截面角位移表示。

图10-2

截面的形心在垂直于梁轴方向的位移,称为挠度,并用w表示。不同截面的挠度一般不同,所以,如果以变形前的梁轴为x轴建立坐标系,则有

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当梁弯曲时,由于梁轴的长度保持不变,因此截面形心沿梁轴方向也存在位移。在小变形的条件下,截面形心的轴向位移远小于其径向位移(即挠度),可以忽略不计。所以,式(10-1)即代表挠曲轴(又称挠曲线)的解析表达式,称为挠曲轴方程。

截面的角位移,称为转角,用θ表示。由于忽略剪力对变形的影响,梁弯曲时截面仍保持平面并与挠曲轴正交,因此任一横截面的转角θ也等于挠曲轴在该截面处的切线与x轴的夹角θ′,即

在工程实际中,转角θ或θ′一般很小(不超过1°或0.017rad),于是得

即截面的转角等于挠曲轴在该截面处的斜率。可见,在忽略剪力影响的情况下,转角与挠度相互关联。

思政提示

弯曲梁结构可以应用在建筑横梁设计上,起到支撑载荷防止变形的作用,也可以应用在汽车板式弹簧设计上,起到通过变形减缓振动的作用。可回收垃圾在普通人角度看是废弃物,在资源回收企业看来却是可贵的资源,只要利用得当,就能产生巨大的价值。因此,我们应当充分开展垃圾分类,促进资源高效利用。