设计轴时,除应考虑强度问题外,还常常对其变形有一定限制,即应满足刚度要求。

在工程实际中,通常是限制扭转角沿轴线的变化率dφ/dx或单位长度内的扭转角,使其不超过某一规定的许用值[θ]。由式可知,扭转角的变化率为

所以,圆轴扭转的刚度条件为

式中,[θ]代表单位长度许用扭转角。对于一般传动轴,[θ]为0.5～1(°)/m;对于精密机器与仪表的轴,[θ]之值可根据有关设计标准或规范确定。

应该指出,扭转角变化率dφ/dx的单位为rad/m,而单位长度许用扭转角的单位一般为(°)/m,因此,在使用式(7-26)时,应注意单位的统一。

例7-4　图7-22(a)为某组合机床主轴箱内轴4的示意图。轴上有Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ3个齿轮,动力由轴5经齿轮Ⅲ输送到轴4,再由齿轮Ⅱ和Ⅳ带动轴1、2和3。轴1和2同时钻孔,共消耗功率0.756kW;轴3扩孔,消耗功率2.98kW。若轴4转速为183.5r/min,材料为45钢,G=80GPa。取[]=40Mpa,[θ]=1.5(°)/m。试设计轴4的直径。

图7-22

解:为了分析轴4的受力情况,先由式(7-1)计算作用于齿轮Ⅱ和Ⅳ上的外力偶矩

MⅡ和MⅣ同为阻抗力偶矩,故转向相同。若轴5经齿轮Ⅲ传给轴4的主动力偶矩为MⅢ,则MⅢ的转向应该与阻抗力偶矩的转向相反,如图7-22(b)所示。于是由平衡方程=0得

根据作用于轴4上MⅡ、MⅣ和MⅢ的数值作扭矩图,如图7-22(c)所示。从扭矩图可以看出,在齿轮Ⅲ和Ⅳ之间,轴的任一横截面上的扭矩皆为最大值,且Tmax=155N·m。由强度条件得

由刚度条件得

为了同时满足强度和刚度要求,选定轴的直径D=30mm。可见,刚度条件是轴4的控制因素。由于刚度是大多数机床的重要参数,所以用刚度作为控制因素的轴也是相当普遍的。

思政提示

轴在扭转变形时,不仅要满足强度条件还要满足刚度条件。我们要传承、弘扬坚定信念、百折不挠的奋斗精神。“千磨万击还坚劲,任尔东西南北风”,这是我们做任何事情的制胜法宝。

习　题

7-1　试求题7-1图所示各轴的扭矩,并指出最大扭矩值。

题7-1图

7-2　试画题7-1图所示各轴的扭矩图。(www.daowen.com)

7-3　如题7-3图所示,某传动轴转速n=300r/min,轮1为主动轮,输入的功率P1=50kW,轮2、轮3与轮4为从动轮,输出功率分别为P2=10kW,P3=P4=20kW。

(1)试画轴的扭矩图,并求轴的最大扭矩。

(2)若将轮1与轮3的位置对调,轴的最大扭矩变为何值?对轴的受力是否有利?

题7-3图

7-4　如题7-4图所示空心圆截面轴,外径D=40mm,内径d=20mm,扭矩T=1kN·m,试计算点A处(ρA=15mm)的扭转切应力A,以及横截面上的最大与最小扭转切应力。

7-5　如题7-5图所示直径为d的实心圆轴,两端受扭转力偶Me作用,其材料的切应力和切应变关系可用=Cγ1/m表示,C、m为由试验测定的已知常数,试证明该轴的扭转切应力计算公式为

题7-4图

题7-5图

7-6　薄壁圆管扭转时的切应力公式为R0为圆管的平均半径,δ为壁厚),试证明:当R0≥10δ时,该公式的最大误差不超过4.53%。

7-7　在相同的强度条件下,用内外径之比d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴,可节省材料的百分比为多少?

7-8　一端固定的圆轴受集度为m的均布力偶作用,发生扭转变形,已知材料的许用应力[],若要求轴为等强度轴,试确定轴直径沿轴向变化的表达式d(x)。

7-9　题7-9图所示锥形圆轴承受外力偶矩Me作用,材料的切变模量为G。试求两端面间的扭转角φ。

7-10　题7-10图所示圆轴受Me作用。已知轴的许用切应力[]、切变模量G,试求轴直径d。

题7-9图

题7-10图

7-11　如题7-11图所示,圆管A套在圆杆B上,将二者焊在一起,它们的切变模量分别为GA和GB,当管两端作用外力偶矩Me时,欲使杆B和管A的max相等,试求dB/dA之值。

7-12　已知钢杆AB和铝杆CD的尺寸相同,且其材料之切变模量之比GAB/GCD=3∶1。杆BF和DE为刚性杆,试求杆CD的E处所受的约束反力。

题7-11图

题7-12图