空间任意力系平衡的充分必要条件:力系的主矢和对任意一点的主矩均等于0。即

由式(3-10)得空间任意力系平衡的方程

于是得空间任意力系平衡的解析条件:空间任意力系中各力向3个垂直的坐标轴投影的代数和均为0,各力对3个坐标轴的矩的代数和也均为0。从自由度的角度出发,一个空间物体要平衡必须限制其6个自由度,即限制3个坐标轴方向的位移和绕3个坐标轴的转动,所以其平衡方程为式(3-11)。

式(3-11)为6个独立的方程,可解6个未知力。它包含静力学的所有平衡方程,如空间平行力系的平衡方程。如图3-14所示,z轴与力的作用线平行,则力系中各力向x轴和y轴的投影恒为0,对z轴的矩恒为0,即得平衡方程

图3-14

由于空间任意力系的平衡方程有6个,因此在求解时应注意:(1)选择适当的投影轴,使更多的未知力尽可能地与该轴垂直;　(2)力矩轴应选择与未知力相交或平行的轴;(3)投影轴和力矩轴不一定是同一轴,所选择的轴也不一定都是正交的。只有这样才能做到一个方程含有一个未知力,避免联立方程。

在空间问题中,所研究问题的约束最多应有6个约束,这样上述的平衡方程才能求解。在实际物体中,由于受力较为复杂,因此应抓住物体受力的主要因素,忽略次要因素,才能将复杂问题加以简化。

例3-13　如图3-15所示的三轮车,自重P=10kN,作用在点E,载重P1=20kN,作用在点C,图中长度单位为m。设三轮车为静止状态,试求地面对车轮的约束反力。

图3-15

解:以三轮车为研究对象,受力图如图3-15所示,主动力为P、P1,约束反力为FA、FB、FD,构成空间平行力系。建立坐标系Oxyz,列平衡方程

解得FA=4.423kN,FB=7.777kN,FD=5.8kN。

例3-14　曲轴受力如图3-16所示,F2=2F1,F=2000N,D=400mm,R=300mm,θ=30°,β=60°,其他尺寸如图。求胶带拉力和轴承约束反力。

图3-16

解:取整个轴为研究对象,受力图如图3-16所示,建立坐标系Oxyz,列平衡方程

解得F1=3kN,F2=6kN,FAx=-10.044kN,FBx=3.384kN,FAz=9.397kN,FBz=-1.799kN。

由于∑Fy=0为恒等式(因为轴承方向上无约束),因此本例题只有5个独立的平衡方程。

例3-15　板结构的受力和几何尺寸如图3-17所示,A处为球铰链,B处为绕y轴转的铰链。重力P=200N,求绳子的拉力F和支座约束反力。

图3-17

解:取板为研究对象,受力图如图3-17所示。建立坐标系Oxyz,列平衡方程

解得F=200N,FAx=86.6N,FAy=150N,FAz=100N,FBx=0,FBz=0。

例3-16　如图3-18所示,正方形板由6根杆支撑于水平位置,已知P、F,且F=2P,各杆自重忽略不计,试求各杆的内力。

解:取正方形板为研究对象,由于各杆自重忽略不计,则各杆均为二力杆。因此,假设它们受拉力,受力图如图3-18所示。列平衡方程

图3-18

由上面的例子可以看出,空间任意力系的平衡方程有6个独立的平衡方程,可求解6个未知力,在求解时应做到:

(1)正确地对所研究的物体进行受力分析,分析其受哪些力的作用(即哪些是主动力,哪些是要求的未知力),它们构成怎样的力系(平行力系、力偶系、汇交力系、任意力系)。

(2)选择适当的平衡方程,进行求解。求解所遵循的原则是尽量使一个方程含有一个未知力,避免联立求解。方程的选择不局限于式(3-11),如例3-15的解法。选择的力矩轴应尽量使未知力的作用线与该轴平行或者相交,投影轴应尽量与未知力的作用线垂直等,以减少平衡方程中未知力的数目。

思政提示

从平面力系到空间力系的分析过程,就是从特殊到一般的分析过程。因此,纷繁复杂的外部环境,大到宇宙、自然、社会和国家,小到日常生活中的每一件事情,都需要进行分析和归纳,从中找出一般规律性的结论,并将得到的理论反过来指导实践。这两个过程是不可缺少的,是同等重要的。我们不但要具备由复杂到简单的提炼和概括能力,还要具备由简单到复杂的分析和指导能力。

习　题

3-1　如题3-1图所示,该结构由两弯杆ABC和DE构成。构件质量不计,图中的长度单位为cm。已知F=200N,试求支座A和E的约束反力。

3-2　在四连杆机构ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2,机构在题3-2图所示位置平衡。试求平衡时力F1和F2的大小之间的关系。

题3-1图

题3-2图

3-3　在题3-3图所示3种情况下,三角支架由杆AB、AC铰接而成,在A处作用有重力G,求出图中AB、AC所受的力(不计杆自重)。

题3-3图

3-4　设题3-4图中力或力偶对点A的矩都相等,它们引起的约束反力是否相同?

题3-4图

3-5　简易起重机如题3-5图所示,滑轮的大小忽略不计,已知载荷G=2000N,α=45°,β=30°,各杆自重不计。求杆AB与AC受到的力。

3-6　横梁AB在题3-6图所示平面内受一力偶作用。已知梁AB长为l,力偶矩为M,梁的自重不计。求A和B端的约束反力。

题3-5图

题3-6图

3-7　如题3-7图所示的构架由直角弯杆AB和构件BCD在B处铰接而成,不计各构件自重。尺寸α及矩为M的力偶已知,求D支座的约束反力。

3-8　如题3-8图所示,圆柱A重力为G,在中心上系有两绳AB和AC,绳子分别绕过光滑的滑轮B和C,并分别悬挂重力为G1和G2的物体,设G2＞G1。试求平衡时的α角和水平面D对圆柱的约束反力。

题3-7图

题3-8图

3-9　相同的两圆管置于斜面上,并用一铅垂挡板AB挡住,如题3-9图所示。每根圆管重4kN,求挡板所受的压力。若改用垂直于斜面上的挡板,压力将变为多少?

3-10　构件的支承及载荷如题3-10图所示,图中长度单位为m,求支座A、B处的约束反力。

题3-9图

题3-10图

3-11　上料小车如题3-11图所示。车和料共重G=240kN,C为重心,a=1m,b=1.4m,e=1m,d=1.4m,α=55°,求钢绳拉力F和轨道A、B的约束反力。

3-12　如题3-12图所示,厂房立柱的一端用混凝土砂浆固定于杯形基础中,其上受力F=60kN,风载荷q=2kN/m,自重G=40kN,a=0.5m,h=10m,试求立柱A端的约束反力。

题3-11图

题3-12图

3-13　试求题3-13图中梁的支反力,图中长度单位为m。已知F=6kN。

3-14　试求题3-14图中梁的支反力,图中长度单位为m。已知F=6kN,q=2kN/m。

题3-13图

题3-14图

3-15　试求题3-15图中梁的支反力,图中长度单位为m。已知q=2kN/m,M=2kN·m。

3-16　试求题3-16图中梁的支反力。已知q=2kN/m,l=2m,a=1m。(www.daowen.com)

题3-15图

题3-16图

3-17　试求题3-17图中梁的支反力。已知F=6kN,q=2kN/m,M=2kN·m,a=1m。

3-18　试求题3-18图中梁的支反力。已知F=6kN,M=2kN·m,a=1m。

题3-17图

题3-18图

3-19　试求题3-19图中梁的支反力。已知F=6kN,M=2kN·m,a=1m。

3-20　试求题3-20图中梁的支反力。已知F=6kN,a=1m。

题3-19图

题3-20图

3-21　试求题3-21图中梁的支反力。已知F=6kN,q=2kN/m,M=2kN·m,a=1m。

3-22　试求题3-22图中梁的支反力,图中长度单位为m。

题3-21图

题3-22图

3-23　试求题3-23图中梁的支反力。已知q=2kN/m,a=1m。

3-24　试求题3-24图中梁的支反力。已知F=6kN,M=2kN·m,a=1m。

题3-23图

题3-24图

3-25　水塔固定在支架A、B、C、D上,如题3-25图所示,图中长度单位为m。水塔总重力G=160kN,风载荷q=16kN/m。为保证水塔平衡,试求A、B间的最小距离。

3-26　题3-26图中汽车起重机车体重力G1=26kN,吊臂重力G2=4.5kN,起重机旋转和固定部分重力G3=31kN,图中长度单位为m。设吊臂在起重机对称面内,试求汽车的最大起重量G。

题3-25图

题3-26图

3-27　汽车地秤如题3-27图所示,BCE为整体台面,杠杆AOB可绕O轴转动,B、C、D三点均为光滑铰链连接,已知砝码重G1及尺寸l、a。不计其他构件自重,试求汽车自重G2。

3-28　如题3-28图所示,梁AB一端砌在墙内,在另一自由端装有滑轮用以匀速吊起重物D,设重物所受重力为G,AB长为b,斜绳与铅垂线成角α,求固定端的约束力。

题3-27图

题3-28图

3-29　驱动力偶矩M使锯床转盘旋转,并通过连杆AB带动锯弓往复运动,如题3-29图所示,图中长度单位为mm。设锯条的切削阻力F=5kN,试求驱动力偶矩及O、C、D 3处的约束反力。

题3-29图

3-30　题3-30图为小型推料机的简图。电动机转动曲柄OA,靠连杆AB使推料板O1C绕O1转动,便把料推到运输机上。已知装有销钉A的圆盘重G1=200N,均质杆AB重G2=300N,推料板O1C重G=600N。设料作用于推料板O1C上点B的力F=1000N,且与板垂直,OA=0.2m,AB=2m,O1B=0.4m,α=45°。若在图示位置机构处于平衡,求作用于曲柄OA上之力偶矩M的大小。

3-31　如题3-31图所示,炼钢炉的送料机由跑车A和可移动的桥B组成。跑车可沿桥上的轨道运动,两轮间距离为2m,跑车与操作架、平臂OC以及料斗C相连,料斗每次装载物料重W=15kN,平臂长OC=5m。设跑车A、操作架D和所有附件总重为P,作用于操作架的轴线,问P至少应多大才能使料斗在满载时跑车不致翻倒?

题3-30图

题3-31图

3-32　如题3-32图所示,在齿条送料机构中杠杆AB=500mm,AC=100mm,齿条受到水平阻力FQ的作用。已知FQ=5000N,各零件自重不计,试求移动齿条时在点B的作用力F是多少?

3-33　杆AB、AC、DE连接如题3-33图所示。杆DE上有一插销F套在杆AC的导槽内。设AD=DB,DF=FE,BC=DE,所有杆重均不计。求在水平杆DE的E端有一铅垂力F作用时,杆AB上所受的力。

题3-32图

题3-33图

3-34　如题3-34图所示,由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持着物体,物体重12kN,D处亦为铰链连接,尺寸如图,长度单位为m。试求固定铰链支座A和滚动铰链支座B的约束反力及杆BC所受的力。

3-35　起重构架如题3-35图所示,长度单位为mm。滑轮直径d=200mm,钢丝绳的倾斜部分平行于杆BE。吊起的载荷W=10kN,其他质量不计,求固定铰链支座A、B的约束反力。

题3-34图

题3-35图

3-36　如题3-36图所示,刚架ABC和刚架CD通过铰链C连接,并与地面通过铰链A、B、D连接,试求刚架的支座约束反力(长度单位为m,力的单位为kN,载荷集度单位为kN/m)。

题3-36图

3-37　如题3-37图所示,边长为a的等边三角形板,用6根杆支撑在水平面位置。若在板面内作用一力偶,其矩为M,不计板重,试求各杆的内力。

3-38　如题3-38图所示,一重W=1000N的匀质薄板用止推轴承A、径向轴承B和绳索CE支持在水平面上,可以绕水平轴AB转动,今在板上作用一力偶,其力偶矩为M,并设薄板平衡。已知a=3m,b=4m,h=5m,M=2000N·m,试求绳子的拉力和轴承A、B的约束反力。

题3-37图

题3-38图

3-39　如题3-39图所示的空间构架由3根杆件组成,在D端用球铰链连接,A、B和C端也用球铰链固定在水平地板上。今在D端挂一重P=10kN的重物,若各杆自重不计,求各杆的内力。

3-40　挂物架如题3-40图所示,三杆的质量不计,用球铰链连接于点O,平面BOC是水平面,且OB=OC,角度如图。若在点O挂一重G=1000N的重物,求三杆所受的力。

题3-39图

题3-40图

3-41　如题3-41图所示,圆盘O1和O2与水平轴AB固连,盘O1垂直于z轴,盘O2垂直于x轴,盘面上分别作用力偶(F1,),　(F2,)。两圆盘半径均为r=20cm,F1=3N,F2=5N,AB=80cm,不计构件自重,试计算轴承A和B的约束反力。

3-42　如题3-42图所示,作用于半径为120mm的齿轮上的啮合力F推动皮带绕水平轴AB做匀速转动,皮带紧边拉力为200N,松边拉力为100N,尺寸如图,长度单位为mm。试求力F的大小以及轴承A、B的约束反力。

题3-41图

题3-42图

3-43　如题3-43图所示,某传动轴以两轴承A、B支承,圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3cm,压力角为20°。在法兰盘上作用一力偶矩M=1030N·m的力偶,如轮轴自重和摩擦不计,求传动轴匀速转动时的啮合力F及轴承A、B的约束反力(图中长度单位为cm)。

题3-43图