首先通过实例来说明多变量系统中存在的系统关联情况。图10-4为搅拌储槽加热器的控制回路，其中包含温度与液位2个控制回路，当进口介质流入量Q i（负荷）波动或者液位的设定值改变时，回路1通过调整出口介质的流出量Q o，使液位保持在设定值上，但出口流量Q o。的变化就会对槽内温度产生扰动，使回路2通过控制加热蒸汽量来进行补偿。

另外，如果入口介质的温度发生变化（扰动）或控制器的温度设定值改变，回路2就会调整蒸汽的流量来稳定温度。此时，液位并不会受到扰动。以上分析说明，这2个回路之间是单向耦合的。

图10-5是具有双向耦合的压力和流量控制系统，在这2个系统中，单把任一个系统投入运行都不成问题，在生产中也大量使用，但若把这两个控制系统同时投入运行，问题就出现了，控制阀门1和2对系统的压力都有相同的影响程度。因此，当管路压力p1偏低而开大控制阀1时流量也将增大，于是流量控制器将产生作用，关小控制阀2，其结果又使管路压力p1上升。流量的控制也有类似的情况。这种情况在许多控制系统中均存在，如锅炉设备的进风（送氧）、炉膛（副压）、烟道、引风等一系列环节就存在如图10-5所示的管路情况，氧气的进风流量与炉膛副压控制之间就存在耦合，而且相互之间影响较大。又如，2种料液混合控制系统中，被控变量成分和总流量与两路输入流量之间也存在着较强的耦合作用。

图10-4　搅拌储槽加热器的控制回路

图10-5　具有双向耦合的压力和流量控制系统

下面通过传递函数矩阵来对系统的关联情况作进一步分析。设具有2个被控变量和2个控制变量的过程如图10-6所示。

图10-6（a）中开环系统的传递函数可写为

式中：传递函数Gij（s）反映了在开环情况下，输入uj对输出yi控制通道的传递函数。

如果传递函数G12（s）和G21（s）都等于0，则2个控制回路各自独立，其间不存在关联，系统间无耦合。此时，一个控制回路不管是处于开环还是闭环状态，对另一个控制回路均无影响。过程的输入输出关系应为

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如果G12（s）和G21（s）有一个不等于0，则称系统为单向耦合或单向关联系统；如果2个都不等于0，则称系统为双向耦合或双向关联系统，这时情况就比较复杂。

例如，在回路2开环时，u1→y1的传递函数是G11（s），只有1条通道。当回路2闭环时，u1→y1除了上述直接通道外，还存在u1→y2→u2→y1间接通道的影响。

图10-6　双输入双输出系统

在回路2闭环的情况下，且R2（s）＝0时，如图10-6（b）所示，如果回路2运行理想，就有Y2（s）＝0，即y2在设定值上不变化，则式（10-3）可写为

由式（10-7）可得

代入式（10-6）可得

将式（10-8）与式（10-4）进行对比，可以看出回路2开环与闭环时对通道u1→y1影响的差别。

通过以上分析可以看出，衡量选定的控制变量对特定的被控变量的影响，只计算在所有控制变量都固定不变的情况下的开环增益显然是不够的。假如过程是关联的，则每个控制变量不只影响1个被控变量。这样，特定被控变量对选定的控制变量的响应还将取决于其他控制变量处于何种状态（开环还是闭环）。

根据上述思想，布里斯托尔于1966年提出了相对增益的概念，用来定量给出各变量之间（稳态）耦合程度的度量。相对增益虽有一定的局限性，但利用它完全可以选出使回路关联程度最弱的被控变量和控制变量的配对关系，是分析多变量系统耦合程度最常用最有效的方法。