1.模拟PID控制算法表达式

在模拟系统中，PID算法的表达式为

式中：u（t）为调节器的输出信号；e（t）为调节器的偏差输入信号，其等于给定值与测量值之差；K c为调节器的比例系数，K c的值可正可负，实践应用中，可根据第5章介绍的控制器正反作用确定方法确定；T i为调节器的积分时间；T d为调节器的微分时间。

2.数字PID控制算法表达式

对式（6-11）进行数字化处理，用数字形式的差分方程代替模拟系统的微分方程，则积分项和微分项可用求和及增量式表示，即

1）位置型PID控制算法表达式

将式（6-12）和式（6-13）代入式（6-11），可得离散的PID表达式为

式中：Δt＝T0为采样周期，必须使T0足够小；k为采样序号，k＝0，1，2，…，；e（k）、e（k-1）为第k次和第（k-1）次采样时的偏差值；u（k）为第k次采样时调节器的输出。

或将式（6-14）写成

式中：K i＝K c T0/T i为积分系数；K d＝K c T d/T0为微分系数。

位置型PID控制算法的程序流程如图6-6所示。

由于式（6-15）的输出值与执行机构（如阀门开度）的位置一一对应，因此，通常把式（6-15）称为位置型PID控制算法表达式。位置型PID控制算法应用于执行器的控制，每次都需计算执行机构的绝对位置，如果计算结果出现问题，u（k）的大幅度变化会引起调节阀开度的大幅度变化，容易引起生产事故。此外，位置型PID控制算法需要采用必要的措施来防止积分饱和现象以及进行手、自动的无扰切换。

2）增量型PID控制算法表达式

式（6-14）作如下改动，根据递推原理，可写出第（k-1）次的PID输出表达式为

将式（6-14）与式（6-16）相减，可得(www.daowen.com)

式中：K i＝K c T0/T i为积分系数；K d＝K c T d/T0为微分系数。

为了编写程序方便，可以把式（6-17）进一步改写为

式中：。

增量型PID控制算法的程序流程如图6-7所示。

增量型PID控制算法是常用的数字PID控制算法，由于其每次都在积分式执行机构原来计算的位置上计算增量，故称增量型算法。在实际控制系统中，如果执行机构采用的是步进电动机或多圈电位器，就要采用增量型PID算法。由于计算机每次只输出控制增量，故计算机发生故障时影响的范围小，不会严重影响生产过程。增量型算法在e（k）反向后，积分项立即反向，因此不会引起积分饱和。

但是，增量型PID控制算法有一不足，即必须包含积分环节。因为纯比例、微分项除了在设定值改变后的一周期内与设定值有关外，其他时间均与设定值无关（尤其是微分先行算法更是如此）。这样，如果缺少了积分环节，当被控过程变量由于扰动作用而发生漂移（或偏离设定点）时，得不到有效的纠正。

图6-6　位置型PID控制算法的程序流程

图6-7　增量型PID控制算法的程序流程

3）速度型PID控制算法表达式

速度型PID控制算法表达式为

速度型PID控制算法需要每次计算输出变化的速率，故称速度型算法。与增量型算法相同，速度型算法也不会引起积分饱和。同时，手动自动切换方便，只需在原手动输出基础上计算增量。此外，速度型PID控制算法也需要与积分式执行机构配合使用。

综上，控制算法的选择原则主要从2个方面考虑：一是考虑执行器的型式，二是考虑应用时是否方便。

从执行器类型看，采用位置型控制算法的计算机输出可直接与数字式调节阀连接，其他型式的调节阀必须经过D/A转换，将输出转化为模拟量，并通过保持电路将其保持到下一采样周期输出信号的到来。增量型控制算法计算机系统适用于步进电动机或多圈电位器这种执行器。速度型控制算法的输出必须采用积分式执行机构。所以，选择PID算法类型的主要决定因素是执行器的型式。

从应用方面考虑，增量型控制算法因为输出是增量，手动/自动切换时冲击比较小。即使偏差长期存在，输出Δu（k）一次次积累，最终可使执行器到达极限位置，但只要偏差e（k）换向，Δu（k）也立即改变符号，从而使输出脱离饱和状态，这就消除了发生积分饱和的危险。另外，增量型控制算法只输出增量，计算机误动作时造成的影响比较小。由于以上这些优点，使增量型PID控制算法在数字控制系统中获得广泛的应用。