时域法是在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控对象的传递函数，测试原理如图2-13所示。

图2-13　测试被控对象响应曲线的原理图

1.输入信号选择及试验注意事项

被控对象的阶跃响应曲线比较直观地反映了被控对象的动态特性，由于直接来自原始的记录曲线而无须转换，试验也比较简单，且从响应曲线中也易于直接求出其对应的传递函数，因此阶跃输入信号是时域法首选的输入信号。但有时生产现场运行条件受到限制，不允许被控对象的被控参数有较大幅度变化，或无法测出一条完整的阶跃响应曲线，则可改用矩形脉冲作为输入信号，得到脉冲响应后，再将其转换成一条阶跃响应曲线。

2.阶跃响应曲线的获取

获取阶跃响应曲线的原理很简单，但在实际工业生产过程中进行这种测试会遇到许多实际问题。例如，不能因测试使正常生产受到严重扰动，还要尽量设法减少其余随机扰动的影响及系统中非线性因素的考虑等。

1）阶跃响应法

阶跃响应法是实际中常用的方法。其基本步骤是，通过手动操作使被控对象工作在所需测试的稳态条件下，稳定运行一段时间后，快速改变被控对象的输入量，并用记录仪或数据采集系统同时记录被控对象输入和输出的变化曲线，经过一段时间后，被控对象进入新的稳态，本次试验结束后，得到的记录曲线就是被控对象的阶跃响应曲线。

为了能够得到可靠的测试结果，输入信号选择及试验应注意以下事项：

①测试前，被控对象应处于相对稳定的工作状态，否则会使被控对象的其他变化与试验所得的阶跃响应混淆在一起而影响辨识结果；

②在相同条件下应重复做多次试验，以便能从几次测试结果中选取比较接近的两条响应曲线作为分析依据，以减少随机扰动的影响；

③分别用正、反方向的阶跃输入信号进行试验，并将两次试验结果进行比较，以衡量过程的非线性程度；

④每完成一次试验，应将被控对象恢复到原来的工作状况并稳定一段时间后再做第二次试验；

⑤输入的阶跃信号幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响，但也不能过小，以防其他扰动影响的比重相对较大而影响试验结果，阶跃变化的幅值一般取正常输入信号最大幅值的10%左右。

2）由矩形脉冲响应获得阶跃响应

为了能够施加比较大的扰动幅度而又不至于严重扰动正常生产，可以用矩形脉冲输入代替通常的阶跃输入，即大幅度的阶跃扰动施加一小段时间后立即切除。这样得到的矩形脉冲响应当然不同于正规的阶跃响应，但两者之间有密切关系，且可以利用矩形脉冲响应求取阶跃响应。

矩形脉冲响应的测试及曲线转换方法如下。

首先在对象上加一阶跃扰动，待被控变量继续上升（或下降）到将要超过允许变化范围时，立即去掉扰动，即将调节阀恢复到原来的位置上，这就变成了矩形脉冲扰动形式，如图2-14所示。

图2-14　由矩形脉冲响应确定阶跃响应

从图2-14中可看出，矩形脉冲输入u（t）可视为2个阶跃扰动u1（t）和u2（t）的叠加，其幅度相等但方向相反，且开始作用的时间不同，即

式中：u2（t）＝-u1（t-Δt）。

而阶跃扰动u1（t）和u2（t）所产生的阶跃响应分别为y1（t）和y2（t），且y2（t）＝-y1（t-Δt）。则矩形脉冲响应y（t）是y1（t）和y2（t）之和，即y（t）＝y1（t）＋y2（t）＝y1（t）-y1（t-Δt）。所需的阶跃响应为

根据式（2-39）可以用逐段递推的方法获得阶跃响应y1（t），如图2-14所示。

需要注意的是，此方法应用的前提是对象近似满足线性特性。

3.由阶跃响应曲线确定传递函数

由阶跃响应曲线确定被控对象的数学模型，首先要根据曲线的形状，选定模型的结构形式。大多数工业过程的动态特性是不振荡的，具有自平衡能力。因此，可假定被控对象的动态特性近似为一阶或二阶惯性加纯迟延的形式。被控对象的传递函数形式的选用取决于对被控对象的先验知识掌握的多少和个人的经验。通常，可将测试的阶跃响应曲线与标准的一阶、二阶响应曲线进行比较，来确定其相近曲线对应的传递函数形式作为其数据处理的模型。确定了传递函数的形式后，下一步的问题就是如何确定其中的各个参数，使之能拟合测试出的阶跃响应曲线。各种不同形式的传递函数中所包含的参数数目不同。一般来说，模型的阶数越高，参数就越多，可以拟合得更完美，但计算工作量也越大。所幸的是，闭环控制尤其是最常用的PID控制并不要求非常准确的被控对象数学模型。因此，在满足精度要求的情况下应尽量使用低阶传递函数来拟合。一般来说，简单的被控对象采用一阶、二阶惯性加纯迟延的传递函数来拟合。下面介绍几种确定一阶、二阶或n阶惯性加纯迟延的传递函数参数的方法。

1）一阶惯性加纯迟延传递函数的确定

（1）作图法。

图2-15　用作图法确定一阶对象参数

如果被控对象的阶跃响应曲线是一条如图2-15所示的起始速度较慢，呈“S”形的单调曲线，就可以用式（2-4）所示的一阶惯性加纯迟延的传递函数去拟合。增益K可由输入输出的稳态值直接计算出，即

式中：Δu（t）为阶跃输入的变化值；y（0）、y（）为输出y（t）的起始值和稳态值。

而τ和T则可以用作图法确定。在阶跃响应曲线的拐点P处作一切线，它与时间轴交于点A，与曲线的稳态渐近线交于点B，这样就可以根据点A、B处的时间值确定参数值，如图2-15所示。

显然，这种作图法的拟合程度一般是很差的。首先，与式（2-4）所对应的阶跃响应曲线是一条向后平移了τ时刻的指数曲线，它不可能完美地拟合一条S形曲线。其次，在作图中，切线的画法也有较大的随意性，这直接关系到τ和T的取值。然而，作图法十分简单，而且实践证明它已成功地应用于PID控制器的参数整定，它是J.G.Ziegler和N.B.Nichols在1942年提出的，至今仍然得到广泛的应用。

【例2-1】已知某液位控制对象，在阶跃扰动Δμ＝20%时，其输出响应实验数据如表2-1所示。

表2-1　例2-1输出响应实验数据

试利用MATLAB绘出系统的阶跃响应曲线，并根据作图法建立系统的一阶惯性加纯迟延的数学模型。

解：①首先根据输出稳态值和阶跃输入的变化幅值可得增益K＝20 mm/20%＝1 mm/%。

②利用以下MATLAB程序ex2＿1＿1.m，可得图2-16所示的阶跃响应曲线。

③按照“S”形响应曲线的参数求法，由图2-16得系统的时间常数分别为：τ＝40 s，T＝260-40＝220 s。

图2-16　阶跃响应曲线

则系统近似为一阶惯性环节加纯迟延的数学模型为

④建立如图2-17所示的Simulink系统仿真框图，并将阶跃信号模块（Step）的初始作用时间和幅值分别改为0和20后，以文件名“ex2-1”将该文件保存。执行以下MATLAB程序ex2＿1＿2.m，便可得如图2-18所示的原系统和近似系统的阶跃响应曲线。

图2-17　Simulink系统仿真图

图2-18　原系统和近似系统的阶跃响应曲线

由图2-18可见，利用“S”形作图法求得的数学模型的误差是比较大的。

（2）两点法。

两点法利用阶跃响应y（t）上2个点的数据计算T和τ。增益K仍按输入输出的稳态值计算。

把y（t）转换成无量纲形式y*（t），即

系统化为无量纲形式后，与式（2-4）所对应的传递函数可表示为

根据式（2-42）所示的传递函数，可得其单位阶跃响应为

式（2-42）中只有2个参数，即T和τ，可根据2个点的测试数据进行拟合。选定时刻t1和t2，其中，t2＞t1＞τ，从测试结果中读出y*（t1）和y*（t2），并根据式（2-43）得

由式（2-44）可以解出

为了计算方便，一般选取在t1和t2时刻的输出信号分别为y*（t1）＝0.39和y*（t2）＝0.63，此时由式（2-45）可得

式中：t1和t2可利用图2-19进行确定。

图2-19　用两点法确定一阶对象参数

两点法的特点是单凭2个孤立点的数据进行拟合，而不顾及整个测试曲线的形态。此外，2个特定点的选择也具有某种随意性，因此所得到的结果的可靠性也需要通过其他测试数据加以验证。

【例2-2】已知某液位被控对象，其阶跃响应测试数据同【例2-1】。试根据两点法建立系统一阶惯性加纯迟延的数学模型。

解：①根据系统近似为一阶惯性环节加纯迟延，采用两点法编写的MATLAB程序ex2＿2＿1.m如下：

执行程序ex2＿3＿1.m可得如下结果：

(www.daowen.com)

系统近似为一阶惯性环节加纯迟延的数学模型为

②建立如图2-20所示的Simulink仿真框图，并将阶跃信号模块（Step）的初始作用时间和幅值分别改为0和20后，以文件名“ex2-2”将该文件保存。然后在MATLAB窗口中执行以下程序ex2＿2＿2.m，便可得如图2-21所示的原系统和近似系统的单位阶跃响应曲线。

图2-20　Simulink仿真框图

图2-21　原系统和近似系统的阶跃响应曲线

将图2-20与图2-21对比可知，同一组测试数据，模型结构相同的情况下，采用两点法求得的数学模型误差要比“S”形作图法小得多，但在时间初始阶段“S”形作图法的误差更小。

2）二阶或n阶惯性加纯迟延传递函数的确定

如果阶跃响应曲线是如图2-20所示的“S”形的单调曲线，且起始段明显无变化的阶段，则它可以用式（2-5）或式（2-6）所示的二阶或n阶惯性加纯迟延的传递函数去拟合。由于它们包含2个或n个一阶惯性环节，因此拟合效果可能更好。

（1）计算二阶传递函数的参数。

①计算被控对象增益K。

对象的增益K按式（2-37）来计算。

②计算纯迟延时间τ。

纯迟延时间τ可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段，开始出现变化的时刻来确定，如图2-22所示。

图2-22　用两点法确定二阶传递函数的参数

③计算时间常数T1和T2。

首先把截去纯迟延部分的输出y（t）转换成它的无量纲形式y*（t），即

阶跃响应截去纯迟延部分并化为无量纲形式后，与式（2-47）所对应的传递函数可表示为

根据式（2-48），可得其单位阶跃响应为

根据式（2-49）就可以利用阶跃响应曲线上2个点的数据［t1，y*　（t1）］和［t2，y*（t2）］确定参数T1和T2。

可以取（t）和（t）分别等于0.4和0.8，从曲线上定出t1和t2，如图2-22所示，则有

将从图2-22中所得到的时刻t1和t2代入式（2-50）中，便可得到时间常数T1和T2。

（2）确定传递函数的形式。

当计算出传递函数的参数后，还需要根据时刻t1和t2的比值，进一步确定传递函数的具体形式。也就是说，针对图2-22所示的系统阶跃响应曲线，不一定要用二阶传递函数来拟合，有时利用一阶传递函数来拟合的精度已达到二阶传递函数拟合的精度，此时就可以采用一阶传递函数来拟合；有时二阶传递函数拟合的精度也不满足要求，此时就需要利用高阶传递函数来拟合。具体过程如下所述。

①当0≤t1／t2≤0.32时，系统可用一阶传递函数来表示，此时相当于式（2-5）中的T2＝0，T1与t1和t2的关系为

②当0.32＜t1／t2＜0.46时，系统可用二阶传递函数来表示，式（2-5）表示的二阶系统参数T1和T2与tl和t2的关系为

③当t1／t2＝0.46时，系统可用二阶传递函数来表示，式（2-5）表示的二阶系统参数T1＝T2，它们与tl和t2的关系为

④当t1／t2＞0.46时，表示系统比较复杂，它要用式（2-6）表示的高阶惯性对象，即

式（2-54）中参数K、τ的计算采用前面讲述的方法，n、T与t1和t2的关系为

式中：参数n需要根据t1／t2的比值来确定；它们的关系如表2-2所示。

表2-2　高阶惯性对象参数n与t1和t2的关系

【例2-3】已知某液位被控对象，其阶跃响应测试数据同【例2-1】。试根据两点法建立系统二阶惯性环节加纯迟延的数学模型。

解：①同样根据【例2-1】的计算结果可得被控对象增益K＝1 mm/%。

②根据阶跃响应曲线脱离起始毫无反应的阶段开始点确定为纯迟延时间τ＝10 s。

③根据系统近似为二阶惯性环节加纯迟延，采用两点法编写的MATLAB程序ex2＿3＿1.m如下：

执行程序ex2＿3＿1.m可得如下结果：

则系统近似为二阶惯性环节加纯迟延的数学模型为

④建立如图2-23所示的Simulink仿真框图，并将阶跃信号模块（Step）的初始作用时间和幅值分别改为0和20后，以文件名“ex2-3”将该文件保存。然后在MATLAB窗口中执行以下程序ex2＿3＿2.m，便可得如图2-24所示的原系统和近似系统的单位阶跃响应曲线。

图2-23　Simulink仿真框图

图2-24　原系统和近似系统的阶跃响应曲线

由图2-21和图2-24可见，系统近似为二阶惯性加纯迟延的阶跃响应曲线要比一阶惯性加纯迟延的阶跃响应曲线的误差更小，曲线与原系统基本重合。也就是说，数学模型的阶次越高，拟合曲线的精度也越高，但同时带来了参数辨识难度增大的问题。因此，在实际应用时，要根据需要合理选择模型的阶次。

3）确定非自平衡过程的参数

对于图2-25所示的2种阶跃响应曲线，它们所对应的传递函数可用式（2-8）或式（2-9）来近似。采用作图方法可以确定其相应的模型参数，其方法如下所述。

图2-25　非自平衡过程的阶跃响应曲线

（a）无纯迟延；（b）有纯迟延

①用式（2-8）来近似图2-25（a）的响应曲线，即

作响应曲线稳态上升部分的拐点A的切线交时间轴于t1，切线与时间轴夹角为θ，如图2-25（a）所示。从图上看，曲线稳态上升部分可看作一条过原点的直线向右平移t1距离，即图中曲线稳态部分可看作是经过纯迟延t1后的一条积分曲线。

若系统施加的阶跃输入幅值为Δu，根据式（2-56）的传递函数，可得阶跃响应为

由式（2-57）可知，过点A的切线的斜率就是积分响应直线的斜率，测出其夹角θ即可确定式（2-56）中的参数，即

②用式（2-9）来近似图2-25（b）的响应曲线，即

作响应曲线稳态上升部分的拐点A的切线交时间轴于t2，切线与时间轴夹角为θ，如图2-25（b）所示。从图2-25（a）可知，0～t1这段时间内，y（t）＝0，故纯迟延τ为

在曲线t1到拐点A之间是惯性环节作用为主，故

在曲线达到稳态后是积分环节作用为主，其求解参照式（2-58），可得