对于n自由度串联机器人，其第i个连杆的运动，是前第1、第2、…、第i－1个连杆相对于其自身轴线Z1、Z2、…、Zi－1的运动，通过运动链中依次传递到连杆i上后，与连杆i相对于其自身轴Zi的运动“相叠加”后的合成运动结果。因为是串联机器人，连杆i＋1、连杆i＋2、…、连杆n的运动对连杆i的运动无影响。

1）角速度传递

为了研究上述运动的传递，需要研究相邻两个连杆i－1和i之间的运动传递关系，如图5-11所示。

图5-11　相邻连杆的线速度和角速度关系（转动关节-转动关节）

由于连杆角速度也是向量，先分析相邻两个连杆的角速度合成问题。如图5-12所示机构，构件1和构件2做旋转运动。其中构件1相对于基座的旋转角速度向量为ωe；构件2相对于构件1的旋转角速度为ωr。根据刚体转动的角速度合成定理：构件2转动的绝对角速度ωa等于牵连角度ωe和相对角速度ωr的向量和，即

ωa＝ωe＋ωr（5-38）

图5-12　两个刚体转动的合成

向量合成的前提是所有向量均在同一个坐标系中描述，如图5-11所示，在坐标系｛i｝中，连杆i＋1的转动角速度ωi＋1为

式中，iωi＋1为在坐标系｛i｝中描述的连杆i＋1的角速度ωi＋1（绝对角速度）；iωi为在坐标系｛i｝中描述的连杆i的角速度ωi（牵连角速度）为连杆i＋1相对于关节i＋1的轴线Zi＋1转动的角速度大小（相对角速度大小）为连杆i＋1相对于关节i＋1的轴线Zi＋1转动的角速度向量ωr在坐标系｛i＋1｝中描述，即相对角速度向量为连杆i＋1相对于关节i＋1的轴线Zi＋1转动的角速度向量ωr在坐标系｛i｝中描述。

式（5-39）中所的向量均为坐标系｛i｝中的向量，也可以将这些向量变换到坐标系｛i＋1｝中，即将式（5-39）两边左乘（坐标系｛i｝相对于坐标系｛i＋1｝的姿态矩阵，因姿态矩阵是正交矩阵，故，可得连杆i＋1的转动角速度，因而

需要指出的是：

（1）因为同一个向量可以在任何一个坐标系中描述，因而的作用是把连杆i＋1的角速度ωi＋1由坐标系｛i｝中描述变换到坐标系｛i＋1｝中描述；而则是把连杆i的角速度ωi由坐标系｛i｝中描述变换到坐标系｛i＋1｝中描述。

（2）为坐标系｛i｝相对于坐标系｛i＋1｝的姿态矩阵，则为坐标系｛i＋1｝相对于坐标系｛i｝的姿态矩阵，它们互为逆阵，即＝I。

2）线速度传递

如图5-11所示，需要确定连杆i＋1上的坐标系｛i＋1｝原点Oi＋1的速度v oi＋1与连杆i上的坐标系｛i｝原点Oi的速度v oi的关系。因为坐标系｛i＋1｝原点Oi＋1通过关节i＋1的旋转轴线Zi＋1，因此连杆i＋1绕轴线Zi＋1的旋转运动不影响点Oi＋1的线速度，所以只需把坐标系｛i＋1｝原点Oi＋1作为连杆i上的点，利用同一构件i上点Oi＋1与Oi之间的速度合成定理：Oi＋1的绝对速度v oi＋1等于“基点”Oi的绝对速度v oi（牵连速度）和点Oi＋1绕基点Oi的转动速度（相对速度）的向量和。同样，向量合成的前提是所有向量均在同一个坐标系中描述，因而(www.daowen.com)

式（5-41）中所有的向量均为坐标系｛i｝中的向量，也可以将这些向量变换到坐标系｛i＋1｝中，即将式（5-41）两边左乘（坐标系｛i＋1｝相对于坐标系｛i｝的姿态矩阵）可得

即

当关节i＋1为移动关节时，如图5-13所示，坐标系｛i＋1｝原点Oi＋1沿着关节i＋1的轴线Zi＋1移动，该运动影响原点Oi＋1的速度，此时可以应用不同构件上点的运动关系：“原点Oi＋1的绝对速度v oi＋1等于牵连速度v e和相对速度v r之和”，求出坐标系｛i＋1｝原点Oi＋1的速度。

式中为牵连速度，即连杆i上与原点Oi＋1“重合”的点的速度；为连杆i＋1与连杆i之间的相对速度。

图5-13　相邻连杆的线速度和角速度关系（转动关节-移动关节）

式（5-39）和式（5-41）为连杆i＋1转动角速度向量ωi和连杆上坐标系｛i＋1｝的原点移动速度向量v oi＋1在坐标系｛i｝中的描述；如果需要把它们变换到基坐标系｛0｝中描述，则分别左乘R和即可，即

说明：式（5-39）～式（5-41）是相邻连杆之间线速度和角速度关系的递推关系式。顺着运动链，应用这些表达式可以依次计算出连杆1上的坐标系｛1｝、连杆2上的坐标系｛2｝、连杆3上的坐标系｛3｝、……直至机器人末端连杆n上的坐标系｛n｝原点的线速度以及各连杆转动的角速度向量。

【例5-2】　试求图5-10所示平面2自由度机器人的速度传递关系。

解：由式（5-39）和式（5-41）可得

故姿态矩阵R＝，因而