由式（5-25）可知机器人工具坐标系｛T｝相对于基坐标系｛0｝的位置p T0和姿态R所有关节变量θ1、θ2、…、θn的函数。由式（5-26）可知该坐标系原点的移动速度0v T和坐标系｛T｝相对于坐标系｛0｝转动角速度0ωT与所有关节速度1、2、…、n相关，它们之间的联系称为机器人速度雅可比矩阵。关键的问题是如何确定该矩阵。

工具坐标系｛T｝原点相对于基坐标系｛0｝的线速度为0v T＝［v Txv Tyv Tz］T＝［p Tx，p Ty，p Tz］T，其中的p Tx、p Ty、p Tz不显含时间t，它们要对时间求全导数，可以根据多元复合函数求导法则，即先对中间变量θ1、θ2、…、θn求导，然后再由θ1、θ2、…、θn对时间t求导，因而0v T为

其中

式（5-28）表明，0J L为3×n矩阵。

由于姿态矩阵的各个元素nx、ny、nz、ox、oy、oz、ax、ay、az不显含时间t，它们要对时间求全导数，可以根据多元复合函数求导法则，即先对中间变量θ1、θ2、…、θn求导，然后再由θ1、θ2、…、θn对时间t求导，因此，由式（5-19）可得工具坐标系｛T｝相对于基坐标系｛0｝的转动角度0ωT为

其中　　

式（5-30）表明，0J R为3×n矩阵。

将式（5-27）和式（5-29）合并可得

其中

式（5-32）表明，0J V为6×n矩阵。

式（5-31）建立了机器人工具坐标系｛T｝的速度（包括线速度和角速度）与机器人各连杆速度的关系，式中的6×n矩阵0J V称为在基坐标系｛0｝中的机器人速度雅可比矩阵。

当然，因为式（5-31）中机器人末端执行器的速度向量是在基坐标系｛0｝中描述的，当机器人工具坐标系｛T｝速度在其他坐标系连杆k的坐标系｛k｝中定义时，雅可比矩阵的表达式kJ V不同。根据式（2-12）所示的向量在两个坐标系之间的转换关系，机器人工具坐标系｛T｝的速度在任意两个连杆坐标系｛k｝和｛l｝之间的变换关系为

因为kV T＝，故

从而可得

由式（5-32）可知，对于一个n自由度机器空间人，其雅可比矩阵为6×n矩阵。通用机器人一般有6个自由度，其雅可比矩阵0J V为6×6方阵。如果方阵0J V可逆，设其逆阵为0J，则利用式（5-31）可以求出机器人的关节速度［＝12…　6］T与末端执行器的速度0V T＝［TxTyTzωTxωTyωTz］T的关系为

如果机器人的运动受到约束，如平面机器人，其构件在同一平面或者平行平面内运动，则末端执行器的速度向量0v T少于6行。设机器人所在直角坐标空间有m个自由度，机器人有n个独立关节，则其雅可比矩阵0J V为m×n矩阵，记为0J Vm×n。因此，雅可比矩阵的“行数”就是机器人所在直角坐标空间的自由度数，“列数”就是机器人独立关节的数目。

由式（5-28）和式（5-30）可知，机器人速度雅可比矩阵0J V仅仅是关节变量θ＝［θ1θ2…　θn］T的函数，即机器人位置的函数，记为0J V（θ）。对于机器人工作空间内的不同位置θ，速度雅可比矩阵0J V（θ）m×n的秩Rank［0J V（θ）m×n］（不为0的最大余子式的行列式的阶数）可能不同，设其最大值K＝max Rank［0J V（θ）m×n］。若在某位置θi＝［θi1θi2…　θin］T，雅可比矩阵0J V（θi）m×n的秩Rank［0J V（θi）m×n］＜K；则称机器人处于“奇异位姿”或“奇异状态”。

一般机器人都有“奇异位姿”。所有的工业机器人在其工作空间的边界都存在“奇异位姿”，此时机器人位于所有关节全部展开或者收回的状态，如图5-8所示是平面2自由度机器人在工作空间边界点的奇异位姿。大部分工业机器人在其工作空间内也存在“奇异位姿”，此时有两个或多个关节轴共线，如图5-9所示。

图5-8　平面2自由度机器人关节展开时的奇异位姿

图5-9　关节机器人关节轴线共线时的奇异位姿

当机器人处于奇异位姿时，它会失去一个或多个自由度，某些关节角速度趋近无穷大。在直角坐标空间的某些方向上，无论关节速度有多大，都不能使机器人手臂沿该方向移动。

当雅可比矩阵0J V为方阵时，即0J V（θ）n×n，若θi＝［θi1θi2…　θin］T，行列式det0［J V（θi）n×n］＝0，称机器人在θi处于“奇异位姿”或“奇异状态”。以通用工业机器人为例，因n＝6，可以令det［0J V（θ）6×6］＝0便可以确定机器人的所有奇异位姿。在规划机器人的运动轨迹时，要避开奇异位姿。

与机器人速度雅可比矩阵相关问题有三类：正向问题、逆向问题和机器人末端执行器位姿微调问题。(www.daowen.com)

（1）正向问题。已知机器人各连杆速度＝［…　］的情况下，求机器人末端连杆（或末端执行器）的线速度0v T（坐标系原点）和转动角速度0ωT。

（2）逆向问题。已知机器人末端连杆（或末端执行器）的线速度0v T（坐标系原点）和转动角速度0ωT的情况下求机器人各连杆速度＝［…　］T。

（3）末端执行器位置和姿态微调整问题。对于工件装配作业、工件抓取、焊接作业等，有时要求末端执行器相对于当前的位置和姿态做“微小调整”，以满足作业要求。此时需要确定各关节的微小位移量Δθ＝［Δθ1Δθ2…　Δθn］T。

第一类问题（正向问题）求解方法：只要求出当前时刻机器人的雅可比矩阵0J V，并把0J V和关节速度＝［…　］代入式（5-31）即可解决。

第二类问题（逆向问题）求解方法：由于式（5-31）中的雅可比矩阵0J V、线速度0v T和转动角速度0ωT均为已知量，要确定＝［…　］，这就变成了如下代数方程组求解的问题

上述方程组是否有解与雅可比矩阵0J V的“秩”有关（秩是线性代数中概念，一个m行n列矩阵A m×n就是m个行向量或n个列向量中最大线性无关组的个数）。根据线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵0J V的“秩”Rank（0J V）和增广矩阵［0J V0V T］的秩Rank（［J VV］）相等，即Rank（0J V）＝Rank（［0J V0V T］），否则线性代数方程组（5-35）无解。

若式（5-35）出现“无解”情况，意味着在机器人末端连杆（末端执行器）在工作空间的某个位置，其指定的速度V＝［p·xp·yp·zωxωyωz］T机器人无法实现。

一般的代数方程组有规范的求解方法，即通过对增广矩阵进行初等行变换，获得“阶梯矩阵”（最简行矩阵），就可以判断方程组是否有解以及解的结构，具体方法可以参考线性代数教材。

第三类问题求解方法：根据导数的定义，式（5-31）可写成0V T＝当Δt很小时

式（5-36）表明：机器人末端执行器的“微分运动”与各关节做“微分运动”之间通过速度雅可比矩阵联系起来。因此，如果给定机器人末端执行器的“微分运动”Δd＝［Δp xΔpyΔpzΔα　Δβ　Δγ］T，通过解如下数方程组（方法同上述第二类问题求解方法），即可确定机器人各关节的“微分运动”Δθ＝［Δθ1Δθ2…　Δθn］T。

上述方法对于机器人末端的精细化作业，如零件精密装配、精密测量时末端执行器的微调十分有效。

【例5-1】　试求如图5-10所示平面2自由度机器人的速度雅可比矩阵。

图5-10　平面2自由度机器人

解：机器人的D-H参数见表5-1。

表5-1　平面2自由度机器人D-H参数

将上述参数代入式（3-1）可得

将上述三个矩阵代入式（5-25）可得

p Tx＝l 2cos（θ1＋θ2）＋l 1cosθ1n Tx＝cos（θ1＋θ2）o Tx＝－sin（θ1＋θ2）a Tx＝0

p Ty＝l 2sin（θ1＋θ2）＋l 1sinθ1；n Ty＝sin（θ1＋θ2）；o Ty＝cos（θ1＋θ2）；a Ty＝0

p Tz＝0n Tz＝0o Tz＝0a Tz＝1

将p Tx、p Ty、p Tz代入式（5-28）和式（5-30）可得

由式（5-32）可得

因为该机构在基坐标系中的xOy平面内运动，可以将上式简写为

利用上述二阶方阵的行列式det（0J V）＝0可以求出该机器人的奇异位姿为θ2＝kπ，k∈Z；即连杆1和连杆2共线时，机器人处于奇异位姿。