如图2-8所示，刚体上一点Q，设它在坐标系｛B｝（与刚体固定连接）中的坐标为Bq＝［Bq xBq yBqz］T，如果已知该时刻刚体的位置向量p AB＝＝［pxpypz］T∈ℜ3和姿态矩阵R＝［n　o　a］。此时，点Q在坐标系｛A｝中的坐标Aq＝［Aq xAq yAqz］T如何确定？

由空间解析几何中的向量代数可知，只有同一个坐标系中的向量才能合成，如图2-8所示，在坐标系｛A｝中，根据向量合成的三角形法则可得

图2-8　点的坐标在两个坐标系之间的坐标变换

式中，表示图2-8中的向量在坐标系｛A｝中的描述。向量在坐标系｛B｝中的描述为＝Bq，为已知量，现在需要确定向量与向量＝Bq的关系，即同一个向量在坐标系｛A｝中的坐标与在坐标系｛B｝中的坐标之间的关系。

由2.2.2节分析以及式（2-4）可知，沿着x B轴、y B轴和z B轴三个正方向的单位向量在坐标系｛A｝中分别为n、o、a，因而由式（2-12）可得向量在坐标系｛A｝中描述为

在坐标系｛B｝中，点Q的坐标为BQ＝［BqxBq yBqz］，即向量在坐标系｛B｝的x B轴、y B轴和z B轴上的投影分别为Bq x、Bq y、Bqz。将式（2-15）代入式（2-14），可得

为便于运算，可引入齐次坐标，即点的坐标和向量的坐标由三阶矩阵（列向量）改变为四阶矩阵（列向量）：

A＝［Aq　1］T＝［Aq xAq yAqz1］TB＝［Bq　1］T＝［BqxBq yBqz1］T

因为向量是其终点和起点的对应坐标差，故向量v的齐次坐标为

A＝［Av　0］T＝［Av xAv yAv z0］TB＝［Bv　0］T＝［Bv xBv yBv z0］T

引入齐次坐标后，根据矩阵运算规则可得

即

其中(www.daowen.com)

4×4矩阵g包括坐标系｛B｝（刚体）相对于坐标系｛A｝的姿态矩阵R，也包含坐标系｛B｝（刚体）相对于坐标系｛A｝的位置向量p AB，称g为坐标系｛B｝（刚体）相对于坐标系｛A｝的位姿矩阵或位形矩阵。

引入齐次坐标后，向量的齐次坐标变换表达式为

位姿矩阵g的物理意义和作用是：

（1）g表示坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的位置和姿态。

（2）g可以把坐标系｛B｝中的向量和点的坐标变换到坐标系｛A｝中。

位姿矩阵g是方阵，为求其行列式的值，按第四行展开可得

因而位姿矩阵g是可逆矩阵（行列式的值不为0）。可以验证，g的逆矩阵g－1为

根据位姿矩阵的含义，可以确定任意三个坐标系｛A｝、｛B｝和｛C｝之间的位姿矩阵的关系。

如图2-9所示，已知坐标系｛C｝相对于坐标系｛B｝的位姿矩阵g和坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的位姿矩阵g，如何确定坐标系｛C｝相对于坐标系｛A｝的位姿？由于位姿矩阵g的作用是把坐标系｛C｝中的向量和点的坐标变换到坐标系｛B｝中，而位姿矩阵g的作用是把坐标系｛B｝中的向量和点的坐标变换到坐标系｛A｝中，故坐标系｛C｝相对于坐标系｛A｝的位姿矩阵g为

点Q在坐标系｛C｝和坐标系｛A｝之间的坐标变换为

图2-9　刚体在不同坐标系之间的位姿变换