为了确定刚体的位置和姿态，需要在刚体上建立一个与刚体“固定”连接的坐标系｛B｝，如图2-3所示。刚体的运动，包括平动和转动，可由位置和姿态的变化来体现。具体而言，平动和转动可以由坐标系｛B｝与坐标系｛A｝之间的关系变化来确定。

图2-3　刚体的位置、姿态与坐标系的关系

如图2-3所示，由于物体在三维欧氏空间ℜ3中运动，坐标系｛B｝的原点OB在欧氏空间ℜ3中的位置向量由3×1矩阵p AB＝［p xp ypz］T∈ℜ3表示，它完全确定了刚体在某一时刻的位置。

刚体的姿态反映的是刚体与坐标系｛A｝的三个坐标轴x A、y A、z A之间的方向，也就是刚体与坐标系｛A｝的三个坐标轴之间的角度关系，它可由坐标系｛B｝的三个坐标轴x B、y B、z B与坐标系｛A｝的三个坐标轴x A、y A、z A之间的夹角确定。为此，需要研究如何确定两个向量的夹角。

由高等数学中的解析几何和向量代数相关理论可知，对于空间中的任意两个向量p、q，它们在坐标系中的三个坐标轴上的投影（px，py，pz）和（qx，qy，qz），若满足px／qx＝py／qy＝pz／qz，则向量p和q平行，即p∥q确定。这表明一个向量p的方向可以由它在坐标轴上的投影（px，py，pz）唯一确定，如图2-4a所示。

图2-4　向量在坐标轴上的投影

可以应用空间解析几何和向量代数中向量点积的定义求向量p在q的投影。p和q的点积为p·q＝‖p‖‖q‖cosθ，其中：‖p‖和‖q‖分别为向量p和q的模；θ为向量p和q的夹角，如图2-4b所示。当‖q‖＝1，‖p‖＝1时，向量p在q上的投影为p·q＝‖p‖‖q‖cosθ＝cosθ，即单位向量p在向量q上的投影为向量p和q的夹角θ的余弦值cosθ。如图2-4c所示，向量p的单位向量e在三个坐标轴上的投影为［cosα　cosβ　cosγ］T，其中cosα、cosβ和cosγ分别为向量p与坐标轴x、y、z夹角的余弦值，由［cosα　cosβ　cosγ］T可以完全确定向量p的方向。设p与坐标轴x、y、z夹角分别为∠p x、∠p y和∠p z，则向量p在坐标系｛x Ay Az A｝中的方向向量为

向量p的方向由向量p与坐标轴x、y、z夹角的余弦值cos∠p x、cos∠p y、cos∠p z唯一决定，即由p的单位向量e在坐标轴x、y、z投影唯一决定。

如图2-3所示，沿着坐标系｛B｝的三个坐标轴x B、y B、z B的正方向分别取三个单位向量，它们在坐标系｛B｝中分别为e1＝［1　0　0］，e2＝［0　1　0］，e3＝［0　0　1］，设这三个单位向量在坐标系｛A｝中分别为n、o、a。以向量n为例，设它在坐标系｛A｝的三个坐标轴x A、y A、z A上的投影分别为n x、ny、nz。由式（2-3）可得：nx＝cos∠n x A，ny＝cos∠n x Y，nz＝cos∠n x Z，把它们合并成一个列向量为An＝［An xAn yAn z］T；同理，向量o和a在坐标系｛A｝的三个坐标轴x A、y A、z A的投影写成列向量分别为Ao＝［Ao xAo yAo z］T和Aa＝［AaxAa yAaz］T。An＝［AnxAn yAnz］T、Ao＝［AoxAoyAoz］T和Aa＝［AaxAayAaz］T可以合并成一个3×3矩阵R，即

上述矩阵R称为刚体的姿态矩阵，因为它完全确定了刚体（坐标系｛B｝）在某一时刻相对于坐标系｛A｝的方向。根据欧拉定理，姿态矩阵R与将坐标系｛A｝沿某个轴旋转一定角度以使得它与坐标系｛B｝重合所对应的刚体变换相等，因此矩阵R又称旋转矩阵。(www.daowen.com)

旋转矩阵（姿态矩阵）R具有如下性质：

（1）由于采用正交坐标系，如图2-5a所示，x B、y B、zB三个方向向量n、o、a相互正交，即向量点积为0：n·o＝o·n＝0，n·a＝a·n＝0，o·a＝a·o＝0。

图2-5　右手正交坐标系三个坐标轴之间的关系

（2）由于采用右手坐标系，如图2-5b所示，x B、y B、z B三个方向向量n、o、a满足如下叉积运算（沿逆时针方向）：n＝o×a；o＝a×n；a＝n×o。

（3）n·n＝1；o·o＝1；a·a＝1。

（4）向量n、o、a并不相互独立，由旋转矩阵的性质（1）和（2）可知，一旦其中两个向量已知，则第三个向量可根据另外两个向量的叉积运算确定。

（5）姿态矩阵R是正交矩阵，即满足R（R）T＝（R）R＝＝I。该性质可以在上述矩阵运算过程中，利用性质（1）、（2）和（3）证明。

（6）矩阵R的行列式值为＋1，即detR＝＝1。该性质可以利用detR＝（n×o）·a＝a·a＝1证明。

所有满足上述性质（1）和（2）的矩阵R的集合用SO（3）表示（special orthogonal），即SO（3）＝｛R∈ℜ3×ℜ3：RR T＝R TR＝I，det R＝＋1｝。

姿态矩阵可以用于描述刚体姿态，即坐标系的姿态。

式（2-4）所示的姿态矩阵R的3列［AnxAnyAnz］T、［AoxAoyAoz］T和［AaxAayAaz］T分别表示坐标系｛B｝的3个坐标轴x B、y B、z B上的3个单位向量n、o、a在坐标系｛A｝的3个坐标轴x A、y A、z A上的投影，即单位向量n、o、a与坐标系｛A｝的3个轴x A、y A、z A夹角的余弦。姿态矩阵完全确定了刚体上的坐标系｛B｝的3个坐标轴x B、y B、z B相对于坐标系｛A｝的3个轴x A、y A、z A的角位移，即描述了刚体相对于坐标系｛A｝的旋转运动。

若已知R，则可以证明坐标系｛A｝相对于坐标系｛B｝的姿态R为