2.3.2.1　流体力学的三大方程

为了求解科学技术和工程实践中的流体力学问题，首先应对问题中的流体性质和运动现象进行简化，提出反映问题本质的理论模型，并运用基本的物理定律和反映此模型特点的特殊规律建立流体力学基本方程。流体力学三大基本方程如下：

（1）质量守恒方程，也称连续性方程，因为确定的流体的质量在运动过程中不生不灭。

（2）动量守恒方程，是指确定的流体其总动量变化率等于作用于其上的体力和面力的总和。描述黏性不可压缩流体动量守恒的运动方程也即纳维- 斯托克斯方程，简称N- S 方程。在此基础上后人又导出适用于可压缩流体的N-S 方程。以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。

（3）能量守恒方程，又称伯努利方程，是在密度均匀情况下反映机械能守恒的方程；在考虑密度、温度、内能变化时，反映包含内能的能量守恒定律（见热力学第一定律）的方程。能量方程中包含动能、彻体力（如重力）的势能（对于气体，如果空间范围不大，重力的势能可忽略不计）和功（压力做的功或黏性力做的功）。

2.3.2.2　计算流体动力学的离散

在计算机上进行流体力学仿真分析，需要对方程进行离散的数值求解，数值求解方法有很多种，其数学原理各不相同，但有两点是所有方法都具备的，即离散化和代数化。总的来说其基本思想是：将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区域，在其中设置有限个离散点（称为节点），将求解区域中的连续函数离散为这些节点上的函数值；通过某种数学原理，将作为控制方程的偏微分方程转化为联系节点上待求函数值之间关系的代数方程（离散方程），求解所建立起来的代表方程以获得求解函数的节点值。

不同的数值方法，其主要区别在于求解区域的离散方式和控制方程的离散方式上。在流体力学数值方法中，应用比较广泛的是有限元法、有限差分法、边界元法、有限体积法和有限分析法，介绍如下：

（1）有限元法也叫有限单元法（Finite Element Method，FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。20世纪50年代初，它首先应用于连续体力学领域——飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。

有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。

有限元法中的相邻的小区域通过边界上的节点连接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出节点处的应力或者变形，非节点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。大多数有限元程序都是以节点位移作为基本变量，求出节点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。

有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从20世纪70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其他需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。

有限元法在工程中最主要的应用形式是结构的优化，如结构形状的最优化、结构强度的分析、振动的分析等。有限元法在超过五十年的发展历史中，解决了大量的工程实际问题，创造了巨大的经济效益。有限元法的出现，使得传统的基于经验的结构设计趋于理性，设计出的产品越来越精细，尤为突出的一点是，产品设计过程的样机试制次数大为减少，产品的可靠性大为提高。压力容器的结构应力分析和形状优化，机床切削过程中的振动分析及减振，汽车试制过程中的碰撞模拟，发动机设计过程中的减振降噪分析，武器设计过程中爆轰过程的模拟、弹头形状的优化等，都是目前有限元法在工程中典型的应用。

经过半个多世纪的发展和在工程实际中的应用，有限元法被证明是一种行之有效的工程问题的模拟仿真方法，解决了大量的工程实际问题，对工业技术的进步起到了巨大的推动作用。但是有限元法本身并不是一种万能的分析、计算方法，并不适用于所有的工程问题。对于工程中遇到的实际问题，有限元法的使用取决于如下条件：产品实验或制作样机成本太高，实验无法实现，而有限元计算能够有效地模拟出实验效果、达到实验目的，计算成本也远低于实验成本时，有限元法才成为一种有效的选择。

（2）有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法使用泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

（3）边界元法：边界元法是在经典积分方程和有限元法基础上发展起来的求解微分方程的数值方法，其基本思想是：将微分方程相应的基本解作为权函数，应用加权余量法并应用格林函数导出联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值之间关系的积分方程；令积分方程在边界上成立，获得边界积分方程，该方程表述了函数值和法向导数值在边界上的积分关系，而在这些边界值中，一部分是在边界条件中给定的，另一部分是待求的未知量，边界元法就是以边界积分方程作为求解的出发点，求出边界上的未知量；在所导出的边界积分方程基础上利用有限元的离散化思想，把边界离散化，建立边界元代数方程组，求解后可获得边界上全部节点的函数值和法向导数值；将全部边界值代入积分方程中，即可获得内点函数值的计算表达式，它可以表示成边界节点值的线性组合。(www.daowen.com)

边界元法的优点是：

·将全解域的计算化为解域边界上的计算，使求解问题的维数降低了一维，减少了计算工作量。

·能够方便地处理无界区域问题。例如对于势流等的无限区域问题，使用边界元法求解时由于基本解满足无穷远处边界条件，在无穷远处边界上的积分恒等于零。因此对于无限区域问题，例如具有无穷远边界的势流问题，不需要确定外边界，只需在内边界上进行离散即可。

·边界元法的精度一般高于有限元法。边界元法的主要缺点是边界元方程组的系数矩阵是不对称的满阵，该方法目前只适用于线性问题。

（4）有限体积法（FVM）又称为控制体积法，是近年发展非常迅速的一种离散化方法，其特点是计算效率高。目前在CFD 领域得到了广泛的应用。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段、分布剖面。

从积分区域的选取方法来看，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法来看，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积法的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程，要求对任意一组控制体积都满足因变量的积分守恒，对整个计算区域，自然也满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。

就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间方法。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（即插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求网格的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。

（5）有限分析法：有限分析法在某种意义上是在有限元法基础上发展起来的一种数值方法，其基本思想是：将求解区域划分成矩形网格，网格线的交点为计算节点，每个节点与相邻的四个网格组成一个计算单元，即一个计算单元由一个中心节点与8 个相邻节点组成；在每个单元中函数的近似解不是像有限元方法那样采用单元基函数的线性组合来表达，而是以单元中未知函数的分析解来表达；为了获得单元中的分析解，单元边界条件采用插值函数来逼近，在单元中把控制方程中非线性项局部线性化（如N- S 方程中的对流项中认为其流速为已知），并对单元中待求函数的组合形式作出假设，找出其系数用单元边界节点上待求函数值表达的分析解；利用单元分析解确定单元中心节点与8 个相邻节点间待求函数值之间关系的一个代数方程，称为单元有限分析方程；将所有内点上的单元有限分析方程联立，就构成总体有限分析方程，通过代数方程组求解，即可获得求解区域中全部离散点的函数值。

虽然有限分析解获得的是求解区域中离散点的函数值，但是由于每个单元内部都有与其中心节点对应的分析解表达式，因此有限分析解在每一个节点的局部区域内都是连续可微的，这对于需要计算求解函数导数的计算流体力学问题具有明显的优势。

该计算方法与有限元、有限差分法比较具有较高的精度。此外，有限分析法具有自动迎风特性，能准确地模拟对流项，同时不存在数值振荡失真问题。有限分析法的缺点是对复杂形状的求解区域适应性较差。

2.3.2.3　计算流体动力学的湍流模型

流体流动经常是不规则、多尺度、有结构的流动，一般是三维、非定常的，具有很强的扩散性和耗散性。从物理结构上看，湍流是由各种不同尺度的带有旋转结构的涡叠合而成的流动，这些涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。大尺度的涡主要由流动的边界条件决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡主要是由黏性力决定的，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的原因。大尺度的涡破裂后形成小尺度的涡，较小尺度的涡破裂后形成更小尺度的涡。在充分发展的湍流区域内，流体涡的尺寸可在相当宽的范围内连续变化。大尺度的涡不断地从主流获得能量，通过涡间的相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。最后由于流体黏性的作用，小尺度的涡不断消失，机械能就转化为流体的热能。同时由于边界的作用、扰动及速度梯度的作用，新的涡旋又不断产生，湍流运动得以发展和延续。

无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N- S 方程对于湍流的瞬时运动都是适用的。但是，湍流所具有的强烈瞬态性和非线性使得与湍流三维时间相关的全部细节无法用解析的方法精确描述，况且湍流流动的全部细节对于工程实际来说意义不大，因为人们所关心的经常是湍流所引起的平均流场变化。这样，就出现了对湍流进行不同简化处理的数学计算方法。其中，最原始的方法是基于统计平均或其他平均方法建立起来的时均化模拟方法。但这种基于平均方程与湍流模型的研究方法只适用于模拟小尺度的湍流运动，不能够从根本上解决湍流计算问题。为了使湍流计算更能反映不同尺度的旋涡运动，研究人员后来又发展了大涡模拟、分离涡模拟与直接数值模拟等方法。总体来说，湍流的计算方法主要分为3 种：雷诺时均模拟、尺度解析模拟和直接数值模拟。其中，前2 种方法可看成是非直接数值模拟方法。

（1）雷诺时均模拟方法：是指在时间域上对流场物理量进行雷诺平均化处理，然后求解所得到的时均化控制方程。比较常用的模型包括一方程模型如Spalart-Allmaras 模型，二方程模型如k-ε 模型、k-ω 模型等，还有雷诺应力模型等。雷诺时均模拟方法计算效率较高，解的精度也基本可以满足工程实际需要。

（2）尺度解析模拟方法：是指对流场中一部分湍流进行直接求解，其余部分通过数学模型来计算。比较常用的模型包括大涡模拟、尺度自适应模拟、分离涡模拟和嵌入式大涡模拟等。这种方法对流场计算网格要求较高，特别是近壁区的网格密度要远大于雷诺时均法，因此所需要的计算机资源较大，但在求解瞬态性和分离性比较强的流动，特别是流体机械偏离设计工况的流动时具有优势。

（3）直接数值模拟方法（Direct Numerical Simulation，DNS）：是直接用瞬态N-S 方程对湍流进行计算，理论上可以得到准确的计算结果。但是，在高雷诺数的湍流中包含尺度为10～100 μm 的涡，湍流脉动的频率常大于10 kHz，只有在非常微小的空间网格长度和时间步长下，才能分辨出湍流中详细的空间结构及变化剧烈的时间特性。对于这样的计算要求，现有的计算机能力还是比较困难的，DNS 目前还无法用于真正意义上的工程计算。但是，局部时均化模型为开展DNS 模拟提供了一种间接方法。该模型是一种桥接模型，通过控制模型参数可以实现从雷诺时均模拟到接近DNS 的数值计算，是一种有着发展潜力的计算模型。

湍流模型和应用场景如表2-1所示。

表2-1　湍流模型和应用场景